Función escalón y función rampa Funciones seccionalmente continuas y su transformada de Laplace
INTRODUCCIÓN Hasta este momento hemos visto transformadas de Laplace de funciones que son continuas para todos los puntos, o al menos para todo t > 0 . Sin embargo, las transformadas de Laplace se adaptan muy bien para tratar con funciones que son discontinuas en algunos puntos. En este subtema veremos algunas funciones especiales que surgen con frecuencia al aplicar el método de la transformada de Laplace a problemas físicos. En particular serán funciones que presentan discontinuidades de salto, las cuales aparecen de manera natural en problemas físicos.
INTRODUCCIÓN Por ejemplo, la introducción repentina de una nueva especie o de una enfermedad desconocida que afecte a una población o el encendido y apagado de un interruptor son fenómenos discontinuos. Las ED que contienen funciones discontinuas son difíciles de tratar analíticamente usando los métodos vistos previamente, pero la transformada de Laplace puede facilitar el tratamiento de esas discontinuidades.
FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Escalón unitario con desplazamiento
Escalón no unitario con desplazamiento
Una función de esta forma se llama función escalón o función de Heaviside (en honor al ingeniero Oliver Heaviside). Es útil al modelar procesos discontinuos tales como el encendido de un interruptor de corriente eléctrica. Cualquier función continua por partes se puede expresar en términos de funciones escalón unitario.
Transformada de Laplace de la función escalón
La propiedad de traslación de F(s) analizada en el primer teorema de traslación describía el efecto sobre la transformada de Laplace de multiplicar una función por eat . El siguiente teorema ilustra un efecto análogo de multiplicar la transformada de Laplace de una función por e−as .
FUNCIÓN RAMPA
Función rampa unitaria
Propiedad