Inducción completa El principio del buen orden: todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo.

Principio del buen orden El principio del buen orden: todo conjunto no vacío de enteros positivos posee un mínimo. Ejemplo: A={n: 2n-(-1)n no es múltiplo 3 } Si no fuera vacío, tendría un mínimo m. 1) m>1 pues 21-(-1)1= 3 2) como 2m-(-1)m no es múltiplo de 3  2m-1-(-1)m-1 es múltiplo de 3 (¿porqué?)

Principio del buen orden Pero si 2m-1-(-1)m-1 es múltiplo de 3  (clase pasada) 2m-(-1)m es múltiplo de 3 ¡Contradicción!  A es vacío. Equivalencia del principio de buen orden y el de inducción completa: ejercicio o leer Grimaldi Teorema 4.1

Inducción completa fuerte Principio de inducción fuerte: Sea A(n) una proposición acerca del entero n. Si sabemos que: A(n0) , A(n0+1), …, A(n1) es verdadera y Si k  n1 ,siempre que A(n0) , A(n0+1), …, A(k) sea verdadera se cumple que A(k+1) también lo es, Entonces A(n) vale para todo nn0.

Inducción completa fuerte Ejemplo: Todo natural mayor que 7 se puede expresar como suma de 3s y 5s Principio de inducción fuerte a A(n) = “n es suma de 3s y 5s”. Y n0 = 8. Demostraremos que A(8) , A(9), A(10) son verdaderas y Si k  10 , A(8) , A(9), …, A(k) verdaderas  A(k+1) verdadera

Inducción completa fuerte A(8) , A(9), A(10) , A(11) : 8 = 3+5, 9 = 3+3+3, 10=5+5 k  10 y A(8) , A(9), …, A(k) verdaderas  A(k+1) verdadera: k  10  k > k+1-3  8  A(k+1-3) verdadera  k+1-3 = 3+..+3+5+..+5  k+1 = 3+ 3+..+3+5+..+5  A(k+1) verdadera:

Inducción como forma de conteo Esquema: 1) cuento a “mano” algunos casos para diferentes n 2) Conjeturo una fórmula 3) La demuestro por inducción Muchos problemas de conteo viene o son parametrizable por una variable natural n. Esto nos lleva a pensar en el siguiente esquema de resolución por inducción

Inducción como forma de conteo Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un conjunto con 10 elementos. 0) Considero el problema general para n elementos y an dicha cantidad 1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}}  a1 = 2 n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}}  a2 = 4 n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3} ,{1,2,3}}  a2 = 8

Inducción como forma de conteo Ejemplo: Cantidad de subconjuntos de un conjunto con 10 elementos. 0) Considero el problema general para n elementos y an dicha cantidad 1) si n = 1 tengo P({1}) = {{}, {1}}  a1 = 2 = 21 n = 2 P({1,2}) = {{}, {1}, {2},{1, 2}}  a2 = 4 = 22 n = 3 P({1,2,3}) = {{},{1}, {2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3} ,{1,2,3}}  a2 = 8 = 23

Inducción como forma de conteo 2) Conjeturo que an = 2n 3) Demostración por inducción: Base: n = 1 ya lo cheque Paso inductivo Si vale para k vale para k+1: Sea S  Ak+1 = {1,…,k+1} entonces o bien k+1  S o bien k+1  S.  P(Ak+1) = {S sin k+1}  {S con k+1} Pero {S sin k+1} = P(Ak) Y {S con k+1} = {S  {k+1}: S sin k+1}  |{S con k+1}| = |{S sin k+1}| = ak  ak+1 = ak + ak = 2k + 2k = 2k+1.

Definiciones recursivas Ejemplo 1: n! = n (n-1)! Y 0! = 1 Ejemplo 2: Cmn = Cm-1n + Cm-1n-1 y Cmm = 1 Ventajas: Cálculo Demostración por inducción Desventajas: Propiedades

Triángulo de Pascal

Yang Hui (1238-1298)

Ejemplo de demostración usando la definición recursiva Considere la sucesión definida por an = an-1 + an-2 si n  2, y a0 = a1 = 1 Entonces a2 = a1 + a0 = 1 +1 = 2 a3 = a2 + a1 = 2 +1 = 3 Etc n 1 2 3 4 5 6 7 an 8 13 21

Ejemplo de demostración usando la definición recursiva Conjeturamos que an  2 n  n  6 Por inducción fuerte con n0 = 6 y n1 = 7. Paso base: sale de la tabla. Paso inductivo: suponemos válida la proposición para n = 6, 7, …, k con k  7 y queremos demostrarla para k+1: ak+1 = ak +ak-1 Para aplicar hipótesis inductiva a ak y ak-1 debemos chequear que k y k-1 están entre 6 y k. Para k es obvio, para k-1, sale de cómo k  7  k-1  ak  2k + 2(k-1) = 4k-2 que es mayor o igual que 2(k+1) para todo k  2, pero estabamos bajo la hipótesis de k  6, así que se cumple.

Principio de inclusión-exclusión ¿Cuantos enteros del 1 al 100 no son múltiplos de 2 ni de 3? ¿Cuántas soluciones enteras hay a la ecuación x+y+z+t = 18, con x, y, z, t <=7 ¿Cuántas funciones sobreyectivas hay? ¿Cuantas permutaciones no dejan ninguno símbolo en su lugar original?

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn Ventanal en el comedor del Gonville and Caius College, Cambridge, conmemorando la estancia de Venn y su principal descubrimiento

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Principio de inclusión-exclusión |(A1c…Anc)| = |U| - |(A1… An)c|= |U| - |A1…An| = |U| - |A1| - |A2| -…- |An| + + |A1A2| + |A1A3|+ …+|An-1An|+ |A1A2A3|+ … + |An-2An-1An|-… (-1)n |A1A2…An|

Números de Stirling Sob(m, n) = k=0m Cmk (-1)k (n-k)m S(m, n) = Sob(m,n)/n! Sob(m, n) = Cant. de formas de distribuir m objetos distinguibles en n cajas distinguibles sin que queden cajas vacías S(m, n) = Cant. de formas de distribuir m objetos distinguibles en n cajas indistinguibles sin que queden cajas vacías

Resumen de técnicas de conteo Básicas: combinaciones, etc Inducción completa Inclusión-exclusión Principio del palomar

Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

Relaciones de recurrencia Ejemplo: ¿de cuántas formas se puede baldosar un patio de 2x16 con baldosas de 1x2?

Relaciones de recurrencia Si fuera chico sería más fácil de contar! Empecemos por los más chicos: 2x1, 2x2, 2x3, etc:

Baldosado 2x3

Baldosado 2x2 2x3 2x4

Baldosado 2x2 2x3 2x4

Baldosado En general si voy a construir cualquier baldosado, tengo exactamente dos formas de empezar: con una baldosa vertical o Con dos baldosas horizontales En el primer caso el resto lo baldosamos como si el patio fuera largo n-1 mientras que en el segundo como si fuera de n-2 Así an = an-1 + an-2 mientras que a1 =1 y a2 = 2.

Baldosado Así an = an-1 + an-2 mientras que a1 =1 y a2 = 2. De aquí la sucesión es: 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 De donde hay 1597 formas de baldosar un patio de 2x16.

Baldosado ¿Asintóticas?