Tema 3: Del Cálculo Diferencial a las Ecuaciones diferenciales 3.2 Antecedentes del Cálculo: Desde la Edad Media hasta el siglo XVII Desde la Edad Media hasta el siglo XVI Siglo XVI: J. Kepler, G. Galileo y B. Cavalieri Siglo XVII: R. Descartes, P. Fermat y I. Barrow

Los infinitésimos y el nacimiento del Cálculo Diferencial. En el siglo XVII, las universidades (Bolonia, París, Oxford etc.) se han consolidado como verdaderos focos de difusión del conocimiento científico. A la sombra de estas universidades existen algunos grupos de científicos más o menos organizados tales como la Accademia dei Lincei (a la que perteneció Galileo) y la Accademia del Cimento en Italia, el Cabinet Du Puy en Francia , el Invisible College en Inglaterra y aparecen otros nuevos como la Royal Society (1660) en Londres y la Académie des Sciences (1666) en París. A partir de este momento la matemática se desarrolló más bien movida por su propia lógica interna que por fuerzas de tipo económico, social o tecnológico.

Antecedentes del Cálculo diferencial. René Descartes (1596- 1650) y Pierre de Fermat (1601 - 1665). Evangelista Torricelli ( 1 608- 1 647), Gilles Persone de Roberval ( 1 602- 1 675), Girard Desargues (1 59 1 - 1 66 1), I. Barrow (1630-1677) y Blaise Pascal (1 623 - 1 662). Este período resultará crucial en la historia de la matemática, N o sólo será importante la obra de estos hombres de una manera individual, sino también colectivamente. La intensidad de la intercomunicación vino incoada por Marin Mersenne (1588-1648) , fraile minimita muy amigo de Descartes y , de Fermat, y que gracias a sus amplios contactos por correspondencia, difundía cualquier noticia de interés científico por toda la «República de las Letras» .

Antecedentes del Cálculo diferencial. R. Descartes ((1 596- 1 650) , está considerado como el padre de la filosofía moderna y como uno de los nombres más destacados de la revolución científica y probablemente el pensador más capaz de su época.

R. Descartes El método que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar los más básicos. En ese punto deberían captarse las naturalezas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente, proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas.

R. Descartes Su obra “La géométrie” (1636) fue en su día un triunfo de la pura teoría sin intención práctica, en la misma medida en que lo fueron las Cónicas de Apolonio en la antigüedad, a pesar del papel tan extraordinariamente útil que ambas obras estaban destinadas a jugar en el futuro. Este trabajo es uno de los tres apéndices al Discours de la méthode, en los que Descartes intentaba dar ejemplos de la aplicación de su método filosófico general. Las consecuencias de su trabajo hacen que esté considerado como el creador de la geometría analítica, disciplina que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y)=0, donde f representa una cierta expresión matemática.

R. Descartes Aunque como sabemos, la teoría de funciones sacó finalmente un gran partido de la obra de Descartes, pero lo cierto es que la idea de «forma» o de «función» no pareció jugar ningún papel entre las motivaciones que condujeron a la geometría cartesiana. Descartes afirma que el problema de hallar la normal (o, equivalentemente, la tangente) a una curva es de gran importancia, pero el método que desarrolla en La géométrie no es ni directo ni fácil de aplicar.

P. Fermat (1601 - 1665). Estudió derecho en Toulouse, para incorporarse más tarde a las tareas del parlamento local primero como abogado y después como miembro del consejo. Como resultado de su gusto por la literatura clásica incluida la ciencia y la matemática hacia el año 1629 comenzó a hacer descubrimientos matemáticos de una gran importancia.

P. Fermat (1601 - 1665). los trabajos de Fermat se publicaron de forma póstuma. Lo que sí parece totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejerció tanta influencia como la Geometría de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado. Dejó muchas proposiciones sin demostrar, pero nunca se demostró que Fermat se equivocara. Los matemáticos han logrado demostrar casi todas las proposiciones que dejó sin demostrar. Solo quedaba pendiente el teorema conocido como el último teorema de Fermat, que establece que para n>2 no es posible La siguiente ecuación: an + bn = cn (a,b,c enteros positivos)

P. Fermat (1601 - 1665). Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La Aritmética de Bachet lo siguiente: “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla”

P. Fermat Abordó la tarea de reconstruir los Lugares planos de Apolonio, fruto de este esfuerzo fue el descubrimiento, probablemente antes de 1636, del principio fundamental de la geometría analítica: “Siempre que en una ecuación final aparezcan dos cantidades incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de una de ellas obtenemos una línea, recta o curva.” Utilizando la notación de Viéte, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k² ; a²-s-x²=ky; x²+y²+2ax+2by=c² ;a²-x²=ky² con la hipérbola, parábola ,circunferencia y elipse respectivamente. Fermat estudió también las tres dimensiones. Igualmente pudo adjudicarse el descubrimiento de algunas características que más tarde inspirarían a Newton.

P. Fermat Estudiando los lugares geométricos para curvas polinómicas de la forma y =f(x) , descubrió un método muy ingenioso para hallar los puntos en los que la función toma un valor máximo o mínimo: Fermat comparaba el valor de f(x) en un cierto punto con el valor f(x+h) en un punto próximo; en general estos dos valores serán claramente distintos, pero en una « cumbre» o en el fondo de un «valle» de una curva «lisa», la diferencia es casi imperceptible. En 1637 escribe una memoria titulada Methodus ad disquirendam maximan et minimam (Método para la investigación de máximos y mínimos). En ella se establecía el primer procedimiento general conocido para calcular máximos y mínimos. Fermat se expresa como sigue:

Método 1. Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tenga una, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado). 2. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a en términos de cualquier grado. 3. Se sustituirá a continuación la incógnita original a por a + h, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a y h, en términos de cualquier grado. 4. Se adigualará para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima. 5. Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de h o de una de sus potencias. 6. Se dividirán todos los términos por h, o por alguna potencia superior de h, de modo que desaparecerá la h, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros.

P. Fermat 7. Se suprimirán, a continuación, todos los términos donde todavía aparece la h o una de sus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada, se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo. 8. La resolución de esta última ecuación dará el valor de a, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original. Debemos observar que el método de Fermat da una condición necesaria para los máximos y mínimos, pero esa condición no es suficiente y tampoco distingue máximos de mínimos. Es un método puramente algebraico y algorítmico, no geométrico.

Cálculo de Tangentes Los matemáticos de la antigüedad sabían cómo trazar tangentes a diversos tipos de curvas. El concepto de tangencia de los griegos es estático y, naturalmente, geométrico. Inicialmente, la tangente se considera como una recta que toca a la curva sin cortarla. Esta definición resultaba apropiada para la circunferencia pero no lo era para otras curvas. Con la invención de la geometría analítica, aparecen una enorme variedad de nuevas curvas para cuyo estudio no servían los métodos tradicionales geométricos. En el periodo de 1630 a 1660 empiezan a usarse técnicas en las que podemos apreciar el uso de derivadas. Suelen ser técnicas específicas para resolver problemas concretos que con frecuencia no se justifican sino que, simplemente, se comprueba que proporcionan soluciones correctas.

Cálculo de Tangentes En el siglo III a.C., Apolonio definió la tangente a una sección cónica y procedió a determinarla en cada caso. Las técnicas para el cálculo de tangentes eran, por supuesto, geométricas

Subtangente Cuando Descartes y Fermat comienzan a aplicar la geometría analítica, redefinen conceptos antiguos, adaptándolos a su nueva geometría. Si tomamos el dibujo de partida tenemos una curva trazada entre EMm y una recta TN que actúa como eje. Bajo esta premisa la recta que contiene el segmento TM es la única que toca a la curva EMm en el punto M y corta a la recta TN. El segmento TM es denominado tangente.

Subtangente

P. Fermat : Cálculo de subtangentes

P. Fermat : Cálculo de subtangentes

P. Fermat : Cálculo de tangentes

P. Fermat : Cálculo de tangentes

P. Fermat : Cálculo de tangentes

Cuadratura de curvas

Cuadratura de curvas Fermat se apoya en una propiedad de las progresiones geométricas de razón menor que la unidad, que enuncia como sigue:

Cuadratura de curvas

Cuadratura de curvas

Recibió las órdenes sagradas, pero se dedicó a enseñar matemáticas; en 1662 fue nombrado profesor de geometría en el Gresham College de Londres, y en 1664 lucasian professor de geometría en Cambridge, siendo el primero en ocupar la cátedra creada por Henry Lucas (¿ 1 6 1 0?- 1 663), y fue sucedido por I. Newton. Editó las obras de Euclides, de Apolonio y de Arquímedes, a la vez que publicaba sus propias obras Lectiones opticae ( 1 669) y Lectiones geometricae (1670) en la edición de las cuales participó Newton.

I. Barrow Parte del triángulo PRQ, que resulta de un incremento PR. Como este triángulo es semejante al PNM, resulta que la pendiente de la tangente PM/MN es igual a QR/PR. Afirma que cuando el arco PP1 es muy pequeño podemos identificarlo con el segmento PQ de la tangente en P. El triángulo PRP1 de la figura de la derecha, en el cual PP1 es considerado a la vez como un arco de la curva y como parte de la tangente, es el triángulo característico o diferencial.

I. Barrow En la Lección X de Lectiones, Barrow calcula la tangente a una curva, dada por una ecuación polinómica f (x, y) = 0, en un punto de la misma P = (x, y) de la forma siguiente: Pongamos P1 = (x + e, y + a) un punto de la curva próximo a P y sustituyamos estas coordenadas en la ecuación f (x, y) = 0. En palabras de Barrow: “Rechacemos todos los términos en los que no hay a o e (porque se anulan unos a otros por la naturaleza de la curva); rechacemos todos los términos en los que a o e están por encima de la primera potencia, o están multiplicados ambos (porque, siendo infinitamente pequeños, no tienen valor en comparación con el resto)”. Después de estas operaciones se puede calcular el cociente a/e que es la pendiente de la curva en el punto P.

Barrow estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes y de cuadraturas, pero su conservadora adhesión a los métodos geométricos le impidió hacer uso efectivo de esta relación.

John Wallis (1616 1703) Publicó en 1655 un tratado Arithmetica innitorum (La Aritmética de los infinitos) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Fue precisamente Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del lazo del amor, ∞, con el significado de infinito.

John Wallis Para ilustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva y = x^k (k = 1, 2, . . . ) y sobre el segmento [0, a]

Siguiendo a Cavalieri, Wallis considera la región PQR formada por un número innito de líneas verticales paralelas, cada una de ellas con longitud igual a x^k. Por tanto, si dividimos el segmento PQ = AB = a en n partes de longitud h = a/n, donde n es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo 0^k + h^k + (2h)^k + (3h)^k + + (nh)^k Análogamente, el área del rectángulo ABCD es a^k + a^k + a^k + + a^k = (nh)^k + (nh)^k + (nh)^k + + (nh)^k

La razón entre el área de la región PQR y el rectángulo ABCD es Área PQR/Área ABCD= (0^k + 1^k + 2^k + 3^k + + n^k)/ (n^k + n^k + n^k + n^k + + n^k) Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de la expresión (5) para n = ∞ Después de estudiar varios casos para valores de k = 1, 2, 3 haciendo, en cada caso, sumas para distintos valores de n = 1, 2, 3, 4, Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débil base, acaba armando que para n = ∞ y para todo k = 1, 2, . . . , se verifica que: (0^k + 1^k + 2^k + 3^k + + n^k)/(n^k + n^k + n^k + n^k + + n^k) = 1/k + 1 Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la región PQR: Área PQR/Área ABCD=Área PQR /a^(k+1)=1/k+1 Área PQR =a^(k+1)/k+1

Además, Wallis deduce que necesariamente debe ser (p√x)^q= x^(q/p). Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la validez de la igualdad a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamiento tiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial. Además, Wallis deduce que necesariamente debe ser (p√x)^q= x^(q/p). Será Newton, poco más tarde, quien siguiendo los pasos de Wallis, introducirá el uso de potencias fraccionarias y negativas.

Procedimiento heurístico La popularización del concepto se debe al matemático George Pólya, con su libro Cómo resolverlo (How to solve it). Habiendo estudiado tantas pruebas matemáticas desde su juventud, quería saber cómo los matemáticos llegan a ellas. El libro contiene la clase de recetas heurísticas que trataba de enseñar a sus alumnos de matemáticas. Cuatro ejemplos extraídos de él ilustran el concepto mejor que ninguna definición: Si no consigues entender un problema, dibuja un esquema. Si no encuentras la solución, haz como si ya la tuvieras y mira qué puedes deducir de ella (razonando a la inversa). Si el problema es abstracto, prueba a examinar un ejemplo concreto. Intenta abordar primero un problema más general (es la “paradoja del inventor”: el propósito más ambicioso es el que tiene más posibilidades de éxito).