Guías de ondas Medios de Transmisión Ignacio Flores Llamas

Ecuaciones de Maxwell La propagación de las ondas electromagnéticas en las guías de ondas se analiza por medio de la solución de las ecuaciones de Maxwell: E: Intensidad de campo eléctrico [V/m] H: Intensidad de campo magnético [A/m] D: Densidad de flujo eléctrico [C/m2] B: Densidad de flujo magnético [Wb/m2] J: Densidad de corriente eléctrica [A/m2] r: Densidad de carga eléctrica [C/m3] Se tienen las relaciones constitutivas: B = mH y D = eE. Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Una onda TEM (transversal electromagnética) es aquella cuyos campos E y H son perpendiculares entre sí, y ambos también son perpendiculares a la dirección de propagación (z). Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Ambos campos están en fase, pues alcanzan sus valores máximos al mismo tiempo. Si la magnitud y fase de los campos son iguales en todos los puntos de un plano, con z constante, entonces la onda es plana. En el espacio libre se puede considerar que r y J valen cero, así que las ecuaciones de Maxwell se simplifican. Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Fasores Suponiendo que los campos E y H tienen variación senoidal con respecto al tiempo, entonces E0: magnitud de campo eléctrico, H0: magnitud de campo magnético, q: fase. Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Fasores Utilizando la identidad de Euler obtenemos: donde se definen los fasores de E y H como Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, considerando las relaciones constitutivas, y dado que derivar con respecto al tiempo equivale a multiplicar por jw, se obtienen las ecuaciones fasoriales: En general E tiene componentes Ex, Ey y Ez, y H tiene componentes Hx, Hy y Hz. Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Para la onda plana: Así que las ecuaciones de Maxwell se convierten en un sistema de ecuaciones simultáneas, del cual se puede obtener la ecuación de segundo orden Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Las soluciones de la ecuación anterior son donde A y B son constantes, es la constante de fase. También se puede encontrar que es la impedancia de la onda (intrínseca del medio). Ignacio Flores Llamas

Onda electromagnética plana Las expresiones completas (no en fasores) de los campos de una onda plana que viaja en la dirección positiva de z, quedan La velocidad de fase se obtiene considerando que derivando con respecto al tiempo Ignacio Flores Llamas

Modos TE Los modos TE (transversales eléctricos) tienen un campo eléctrico transversal a la dirección de propagación z (Ez = 0) y una componente Hz ≠ 0. Del sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene la ecuación: donde es la constante de propagación. Ignacio Flores Llamas

Modos TE Una vez resuelta la ecuación anterior, las demás componentes del campo electromagnético se encuentran con Ignacio Flores Llamas

Modos TM Los modos TM (transversales magnéticos) tienen un campo magnético transversal a la dirección de propagación z (Hz = 0) y una componente Ez ≠ 0. Con un procedimiento similar, del sistema de ecuaciones simultáneas se obtiene la ecuación: Ignacio Flores Llamas

Modos TM Una vez resuelta la ecuación anterior, las demás componentes del campo electromagnético se encuentran con Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares En una guía de ondas metálica rectangular sólo se pueden propagar los modos TE y TM, no hay propagación del modo TEM. La ecuación para cada tipo de modos se resuelve con las condiciones de frontera apropiadas: el campo eléctrico tangencial debe ser cero y el campo magnético normal también debe ser cero. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TE La solución general de la ecuación para los modos TE es Al diferenciar y sustituir en la ecuación original se obtiene la relación Los valores discretos p y q definen el orden del modo TE. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TE Las condiciones de frontera exigen que Hx = 0 en x = 0 y x = a. También que Hy = 0 en y = 0 y y = b. Aplicando estas condiciones se puede llegar a las ecuaciones Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TE Así que la solución final queda de la forma: A partir de esta ecuación se pueden encontrar las demás componentes de los campos E y H. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TE Se puede encontrar una expresión para la constate de propagación Para que el modo TE se propague, g debe ser imaginaria pura, es decir, w2me > (mp/a)2 + (np/b)2. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TE Entonces, para un modo específico existe una frecuencia de corte, a la cual inicia la propagación porque Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TM La solución general de la ecuación para los modos TM es Al diferenciar y sustituir en la ecuación original se obtiene la relación (igual que para modos TE) Los valores discretos p y q definen el orden del modo TM. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TM Las condiciones de frontera ahora exigen que Ez = 0 en x = 0, x = a, y = 0 y y = b. Aplicando estas condiciones se puede llegar a las ecuaciones Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TM Así que la solución final queda de la forma: A partir de esta ecuación se pueden encontrar las demás componentes de los campos E y H. Se observa que las distribuciones de los modos TM son distintas a las de los modos TE. Es evidente que en este caso m y n no pueden valer cero. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modos TM La constante de propagación resulta ser la misma que para los modos TE, para valores idénticos de m y n, ya que p y q se determinan de la misma manera. Por lo tanto, la frecuencia de corte también es la misma para estos modos TM. Ignacio Flores Llamas

Guías rectangulares Modo dominante La frecuencia de corte más baja para una guía rectangular en donde a > b, siempre es la frecuencia de corte del modo TE10. Después sigue la de los modos TE20 o TE01 o TE11 y TM11, dependiendo de las magnitudes de a y b. Por lo tanto, siempre hay un rango de frecuencias en el que solamente se propaga el modo TE10. Por esta razón se le llama modo dominante. Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Para analizar la propagación de los modos en una guía de ondas circular, es conveniente emplear un sistema de coordenadas cilíndricas. Modos TE Al transformar la ecuación diferencial que se debe resolver para los modos TE a coordenadas cilíndricas se obtiene Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TE La solución general de esta ecuación es de la forma donde A, B, C y D son constantes, Jm(hr) y Ym(hr) son las funciones de Bessel de primera y segunda clase respectivamente, y de orden m. B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞ cuando r → 0. Sólo es necesario utilizar alguna de las funciones cosmf o senmf, según la referencia para f = 0. Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TE Utilizando cosmf, la solución final es Además se obtiene la relación . Las demás componentes se determinan con Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TE Aplicando las condiciones de frontera tenemos que Ef = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir con Si designamos a las raíces de la ecuación anterior como smn, entonces ha = smn, es decir, h = smn/a. Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TE Por lo tanto, la constante de propagación se obtiene con Habrá propagación en la guía a partir de la frecuencia en la que g sea imaginaria pura, es decir, Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TE Raíces de El primer modo TE que se propaga es el TE11. n = 1 n = 2 n = 3 m = 0 3.832 7.016 10.173 m = 1 1.841 5.331 8.536 m = 2 3.054 6.706 9.969 Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TM Al transformar la ecuación diferencial que se debe resolver para los modos TM a coordenadas cilíndricas se obtiene Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TM La solución general es de la forma Nuevamente B debe ser cero porque Ym(hr) → -∞ cuando r → 0. De la misma manera, sólo es necesario utilizar alguna de las funciones cosmf o senmf, según la referencia para f = 0. Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TM Utilizando cosmf, la solución final es Las demás componentes se determinan con Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TM Aplicando las condiciones de frontera tenemos que Ez = 0 en r = a. Esto conduce a que se debe cumplir con Si designamos a las raíces de la ecuación anterior como tmn, entonces ha = tmn, es decir, h = tmn/a. Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TM Por lo tanto, la constante de propagación se obtiene con Habrá propagación en la guía a partir de la frecuencia en la que g sea imaginaria pura, es decir, Ignacio Flores Llamas

Guías circulares Modos TM Raíces de El primer modo TM que se propaga es el TM01. n = 1 n = 2 n = 3 m = 0 2.405 5.520 8.654 m = 1 3.832 7.016 10.173 m = 2 5.136 8.417 11.620 ¿Cuál es el modo dominante en una guía circular? Ignacio Flores Llamas