Propiedades de los determinantes
Propiedades de determinantes: Si todos los elementos de una fila (renglón) o columna de A son nulos, entonces |A| = 0. Si dos filas o columnas de A son idénticas, entonces |A| = 0.
Propiedades de determinantes: Si A es una matriz triangular superior (o inferior), entonces |A| es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
Propiedades de determinantes: Si B es la matriz que se obtiene sumando un múltiplo de una fila (o columna) de A a otra fila (o columna), entonces |B|=|A|. En otras palabras, si a los elementos de una fila se le suman o restan los elementos de otra fila multiplicados por escalares no nulos, el determinante no se altera.
Ejercicios: Calcular los siguientes determinantes:
Propiedades de determinantes: Si en una matriz se intercambian dos filas (o columnas), el determinante solo cambia de signo.
Propiedades de determinantes: Si todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante son múltiplos de un número, éste se puede sacar como factor común del determinante.
Propiedades de determinantes: Como consecuencia de la propiedad anterior, se puede decir que si k es una constante y A tiene orden n, entonces |kA| = kn|A|.
Propiedades de determinantes: El determinante del producto de dos matrices de orden n es el producto de sus determinantes: |AB| = |A||B|. 9. |AT| = |A| 10. |I| = 1
Calcular el determinante en las siguientes matrices: 1 7 4 5 8 3 . 2) - 6 1 2 3 4 5 7 . 1) - 3 4 2 1 . 4) - 2 1 3 8 6 4 . 3) -
Determinante de una matriz triangular Con las propiedades estudiadas, se puede calcular el determinante de una matriz de cualquier orden, transformándola en una matriz triangular, y así, obtener el producto de los elementos de la diagonal principal.
Ejemplo:
Ejercicios : a) b) - 1 3 - 4 1 1. Calcular el determinante en las siguientes matrices: 1 2 - 1 1 2 3 2 3 2 a) b) - 1 4 5 4 1 2 3 3 3 - 2 1 3 - 4 1 2. Si A es de orden 4x4 y |A| = 12 ¿Cuál es el valor del determinante de la matriz obtenida al multiplicar cada elemento (entrada) de A por 2? 3. Suponga que A es una matriz cuadrada de orden 5 y |A|=½. Sea B la matriz obtenida al multiplicar la tercera fila de A por 7 (las otras filas permanecen sin cambio). Encuentre |2B|.