APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (Tema 12)

MONOTONÍA y EXTREMOS RELATIVOS (pág 194 y 288) (pág 195 y 289)

MONOTONÍA 𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒂,𝒃 ↔ 𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒂,𝒃 ↔ ∀ x1 < x2 de (a,b) / 𝑓 𝑥1 <𝑓 𝑥2 . i.e. 𝑓 𝑥2 −𝑓(𝑥1) 𝑥2−𝑥1 >0 𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒙=𝒂 𝑠𝑖 𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑎 →

𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒂,𝒃 ↔ ∀ x1 < x2 de (a,b) →𝑓 𝑥1 >𝑓(𝑥2) i.e. 𝑓 𝑥2 −𝑓(𝑥1) 𝑥2−𝑥1 < 0 𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒙=𝒂 𝑠𝑖 𝑙𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑎

En la práctica: Si f(x) es derivable en x = a 𝑺𝒊 𝒇 ′ 𝒂 >𝟎→𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕. 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒙=𝒂 𝑺𝒊 𝒇 ′ 𝒂 <𝟎→𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕. 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒙=𝒂 (Las demostraciones se basan en las definiciones de derivada y crecimiento) Pero, si f ‘ (a) = 0, no podemos asegurar nada sobre el crecimiento. Por ejemplo, en x = 0 la 1ª función es est. creciente, la 2ª est. dec. y la 3º ni lo uno ni lo otro.

De forma análoga: si f(x) es derivable en 𝑥 ϵ (a,b) 𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕. 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏 𝒂,𝒃 𝑺𝒊 𝒇 ′ 𝒙 <𝟎 𝒆𝒏 𝒙𝝐 𝒂,𝒃 → 𝒇 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒕. 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒏(𝒂,𝒃)

EXTREMOS RELATIVOS Son los puntos de la función más altos o más bajos de un entorno de ellos. f(x) tiene un Máximo relativo en x = a si f(x) < f(a) ∀ 𝑥∈𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎 f(x) tiene un mínimo relativo en x = a si: f(x) > f(a) ∀ 𝑥∈𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑎

Ejemplos: f(x) = x – E(x), tiene m.r. en x = Z f(x) = |x2 – 4|, tiene un M.r. en x = o Y dos m.r. en x = -2 y x = 2.

CONDICIÓN NECESARIA (obligatoria) para la existencia de ext. relativos Si en x = a, f(x) presenta un M.r. o un m.r. → f’ (a) = 0 ó ∄ f’(a). Esto es, si f’(a)≠0→ x = a no es M.r. ni m.r.

No es una condición suficiente No es una condición suficiente. Por ejemplo: f(x) = x3, cumple que f’(0) = 0 y sin embargo en x = 0 no hay un extremo relativo.

CONDICIÓN SUFICIENTE para que ∃ extremos relativos En x = a, f(x) presenta un M.r. si es derivable en un entorno reducido de x = a y En x = a, f(x) presenta un m.r. si es derivable en un entorno reducido de x = a y + - Signo f’(x) a Comportamiento de f(x)

Ejemplos: monotonía y ext. relativos f(x) = x3 – 6x2 g(x) = x2/(x-1)2 h(x) = |x| i(x) = |x2 – 4|

RESUMEN: Para estudiar la monotonía y/o los extremos relativos de una función estudiaremos el signo de f ‘(x), buscando los valores de x que no pertenecen al dominio, los que la anulan y aquellos en los que la función cambia de expresión. Serán extremos relativos aquellos valores de x ∈ D(f(x)) en los que f ‘(x) cambie de signo al pasar por ellos.

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN (Pág. 292) (Pág. 293)

CONCAVIDAD f(x) es cóncava hacia arriba en x = a si en un entorno suyo los puntos están por encima de la recta tangente en (a,f(a)) f(x) es cóncava hacia abajo en x = a si en un entorno suyo los puntos están por debajo de la recta tangente en (a,f(a))

De lo que se deduce: f(x) es cóncava hacia arriba en (a,b) si lo es en todos sus puntos. abajo en (a,b) si lo es en todos sus puntos

En la práctica: si f(x) es derivable dos veces en x = a 𝑺𝒊 𝒇 ′′ 𝒂 >𝟎 →𝒇 𝒆𝒔 ∪𝒆𝒏 𝒙=𝒂 𝑺𝒊 𝒇 ′′ 𝒂 <𝟎→𝒇 𝒆𝒔 ∩ 𝒆𝒏 𝒙=𝒂 Pero, si f ‘’(a) = 0 no podemos asegurar nada sobre la concavidad (Las demostraciones se basan en las definiciones de derivada segunda y concavidad)

Se deduce: 𝑺𝒊 𝒇 ′′ 𝒙 >𝟎 𝒆𝒏 𝒙𝝐 𝒂,𝒃 →𝒇 𝒙 𝒆𝒔 ∪ 𝒆𝒏 (𝒂,𝒃) 𝑺𝒊 𝒇 ′′ 𝒙 >𝟎 𝒆𝒏 𝒙𝝐 𝒂,𝒃 →𝒇 𝒙 𝒆𝒔 ∪ 𝒆𝒏 (𝒂,𝒃) 𝑺𝒊 𝒇 ′′ 𝒙 <𝟎𝒆𝒏 𝒙𝝐 𝒂,𝒃 →𝒇 𝒙 𝒆𝒔 ∩ 𝒆𝒏 (𝒂,𝒃)

PUNTOS DE INFLEXIÓN f(x) tiene un punto de inflexión en x = a si en ese punto cambia la concavidad.

CONDICIÓN NECESARIA (obligatoria) para la ∃ de puntos de inflexión Si en x = a, f(x) tiene un P. I. → f’’(a) = 0, ò ∄ f’’(a) Esto es, si f’’(a)≠0→ en x = a no hay P.I. CONDICIÓN SUFICIENTE para la ∃ de P.I. En x = a, f(x) presenta un P.I. si es derivable en un entorno reducido de x = a y + / - - / + Signo f’’(x) a ∪/∩ ∩ /∪ Comportamiento de f(x)

RESUMEN: Para estudiar la concavidad y/o los puntos de inflexión de una función estudiaremos el signo de f ‘’(x), buscando los valores de x que no pertenecen al dominio, los que la anulan y aquellos en los que la función cambia de expresión. Serán puntos de inflexión aquellos valores de x ∈ D(f(x)) en los que f ‘’(x) cambie de signo al pasar por ellos.

Ejemplos: concavidad y P.I. f(x) = x3 – 6x2 r(x) = x2/(x-1)2 h(x) = |x2 – 4|

EJERCICIOS: Pág 308: 2 a, b, c, f, i (mon, extremos, conc, P.I.) Sea f(x) = , calcula a y b para que f(x) sea derivable. Analiza si f(x) tiene un punto de inflexión en x = 0. Pág 284: 17 (f’’) Pág 284: 18,pág 312: 56 gráficas de f y f’ Pág 306: 2 (desigualdades). Pág. 311: 41, 42

TEOREMA DE CONTINUIDAD TEOREMA DE WEIERSTRASS (pág 247) Si f(x) es continua en [a,b], tiene máximo y mínimo absolutos en dicho intervalo

Ejercicios: Pág 255 y 256: 21, 22, 35 Pág 257: 5

OPTIMIZACIÓN (Pág 290)

En muchas situaciones sociales, políticas, económicas… se plantean problemas en los que hay que conseguir máximos beneficios, mínimos costes, máxima velocidad…; i.e., situaciones en las que hay que optimizar algo que se puede expresar mediante una función. Los casos más sencillos de optimizar (calcular el máximo o el mínimo de una función) son aquellos en los que la función depende de una variable; pero puede depender de más (dos a lo sumo en nuestro caso) En la práctica: Escribir la función a optimizar Si depende de dos variables, relacionarlas de manera que la función dependa de una sola variable. La relación es una condición que da el problema ( a veces es intrínseca) Obtener el máximo o mínimo según corresponda Comprobar que la/s solución/es se adecúa/n al enunciado

EJEMPLOS: Disponemos de 100 m. de alambre para vallar un campo rectangular. Calcula las dimensiones que debe tener dicho campo para que la superficie vallada sea máxima. * La función a optimizar es Área = f(x,y) = xy * Condición: 2x + 2y = 100 x + y = 50. Ponemos una incógnita en función de la otra y = 50 – x, y sustituimos en la función * Área = f(x) = x(50-x) = 50x –x2 * Calculamos el máximo de esta función: f’(x) = 50 – 2x = 0 x = 25 Signo f’(x) + 25 - f(x) * Por tanto en x = 25m e y = 50 – 25 = 25 m. se obtiene el máximo de la superficie.

* Función a optimizar: Área = A(x,y) = xy/2 x2 + y2 = 502 De entre todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mide 50 m., encuentra el que tiene área máxima. * Función a optimizar: Área = A(x,y) = xy/2 * Condición: Teorema de Pitágoras: x2 + y2 = 502 * Despejamos una de las incógnitas y la sustituimos en la función a maximizar * Calculamos el máximo: A’(x) = 0 x=± 𝟏𝟐𝟓𝟎 = ±25 𝟐 Signo A’(x) -50 - -25 𝟐 + 25 𝟐 - 50 A(x) * El máximo se produce en x = 25 𝟐 m e y = 25 𝟐 m.

EJERCICIOS: Pág 307: 2 (está hecho) Pág 309: 13, 15, 16, 18, 21, Autoevaluación: 3 Halla las coordenadas del punto de f(x) = 𝑥 𝑒 𝑥 en el que la pendiente es mínima. Una pista de atletismo consiste en dos semicírculos adosados a los lados opuestos de un rectángulo. Si el perímetro de la pista es de 400m, calcular las dimensiones de la misma que hacen máximo el área del rectángulo. Dadas la parábola 𝑦= 1 3 𝑥 2 y la recta y = 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. (Sol: Dimensiones del rectángulo: cuadrado de lado 6u. Área 36u2)

Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5 €/ m2 y para la base un material un 50 % más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. (Sol: lado base 6 cm, altura 7’5 cm) Se divide un alambre de 100 m. de longitud en dos segmentos de longitud x y 100 – x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para que valores de x dicha suma es mínima? (Sol: x = -600 2 + 900 m)

RECTA TANGENTE y RECTA NORMAL (Pág 262)

RECTA TANGENTE a f(x) en x = a 𝒚 −𝒇 𝒂 = 𝒇 ′ 𝒂 (𝒙−𝒂) Para determinarla es necesario conocer: Alguna de las coordenadas del punto de tangencia ó La pendiente de la recta en ese punto RECTA NORMAL a f(x) en x = a 𝒚 −𝒇 𝒂 = −𝟏 𝒇 ′ 𝒂 (𝐱−𝐚)

Ejemplos: Pág 263: 2: Encuentra la ec. de la recta tangente a la curva y = xex en el punto de abscisa x = 1.

Pág 263: 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 – 3x + 1 que sea paralela al eje OX

Pág 280: 2b. Halla un punto de y = x2+x+5 en el cual la recta tangente es paralela a la recta y = 3x-8.

TEOREMA DE DERIVABILIDAD TEOREMA DE LAGRANGE o DE LOS INCREMENTOS FINITOS (pág 297) Si f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) → ∃ 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐∈ 𝑎,𝑏 / 𝑓 ′ 𝑐 = 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 Geométricamente: existe un punto en (a,b) en el que la recta tangente es paralela a la que pasa por los puntos (a,f(a)), (b,f(b))

Ejemplos: Pág 297: 14. Encuentra un punto de la parábola f(x) = 3x2 donde la tangente sea paralela a la cuerda que une los puntos A(0,0) y B(3,27)

EJERCICIOS: Pág 282: 5 (recta tg y normal), 6, 8, 9, 10 Calcula las rectas tangentes y normales en los puntos de inflexión de la función f(x) = x3 – 3x2 + 2 Dada la función f(x) = Calcula a y b para que f(x) sea derivable. Escribe la derivada de f(x). Calcula la recta tangente a f(x) que sea paralela a la recta y- 15x + 3 = 0. Sea h(x) una función derivable en R, de la que se conoce que h (2) = 3 y que h’(2) = -1. Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x) = ℎ 2 𝑥 +ℎ 𝑥 +4 en x = 2.

Ejemplos APLICACIONES del teorema Pág 297: 15. Estudia si se puede aplicar el T. de Lagrange a y = x2-2x+3 en [1,3] y halla el valor en el que se da el teorema.

Demostrar desigualdades en las que intervengan números o letras: Pág 307: 1. De una función f, se sabe que es derivable en R y que f’(x)≥ 3 ∀ 𝑥. Además f(1) = 1. ¿Hay suficientes datos para asegurar que f(21)≥ 61? Razona la respuesta

Pág 311 43. Haciendo uso del T. de Lagrange demuestra que cosb - cosa≤ b - a

Ejercicios: Pág 311: 37 Sea f una función continua y derivable tal que f (0) = 3. Calcula cuánto tiene que valer f (5) para asegurar que en [0, 5] existe un c tal que f ' (c) = 8.

CÁLCULO DE PARÁMETROS

En la práctica, El ejercicio debe dar tantas condiciones como parámetros haya que calcular Cada condición hay que expresarla en forma de ecuación Los parámetros se calculan resolviendo el sistema resultante Si el enunciado del ejercicio diera menos condiciones que parámetros o el sistema resultante fuera compatible indeterminado, unos parámetros dependerían de otros

EJEMPLOS: Pág 308: 3, 4. Pág 311: 46 Sea y = x3 + bx2 + mx + 1. Hallar b y m para que la curva tenga en (0,1) un punto de inflexión y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga 1. Sea f(x) = ax3 + bx. Hallar a y b para que f(x) pase por (-1,1) y en ese punto su tangente sea paralela a la recta 3x + y = 0. Para esos valores estudiar la monotonía, concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión. Calcular a, b y c para que f(x) = x3 + ax2 + bx + c tenga un punto de derivada nula en (1,1) que no sea un extremo relativo.

TEOREMAS DE CONTINUIDAD TEOREMA DE BOLZANO (pág 244) Si f(x) es continua en [a,b] y signo(f(a))≠ signo(f(b)) → ∃ 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐∈ 𝑎,𝑏 / 𝑓 𝑐 =0 Geométricamente: f(x) corta al menos una vez al eje X en el intervalo (a,b)

APLICACIONES: Una función corta al eje X Una función alcanza un valor Dos funciones son iguales Una ecuación tiene solución Verificar el teorema Contradecir el teorema

EJEMPLOS: Pág 253: 1 (función corta al eje x)

Pág 252: 4 (función alcanza un valor)

Pág 255: 16 (funciones iguales)

Pág 245: 8 (ecuación tiene al menos una solución real)

Pág 245: 9 (T. Darboux- T. Bolzano)

Verificar T. Bolzano: Pág 255: 14, 15, 17

Ejercicios: Otros: Pág. 255 y 256: 12, 13, 18, 25, 26, 30

TEOREMAS DE DERIVABILIDAD TEOREMA DE ROLLE (pág 294) Si f(x) es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b) → ∃ 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑐∈ 𝑎,𝑏 / 𝑓 ′ 𝑐 =0. Geométricamente: existe un punto de (a,b) en el que la recta tangente es horizontal

APLICACIONES: Una función corta al eje X una vez Una función alcanza un valor una vez Dos funciones son iguales una vez Una ecuación tiene una solución Verificar el teorema Contradecir el teorema Primero se aplica el T. de Bolzano para demostrar que se cumple lo pedido al menos una vez; con Rolle se demuestra la unicidad.

EJERCICIOS: Pág 310: 32 (funciones se cortan en un único punto) Pág 310: 31 (ecuación única solución). Pág 295: 9, 11. Pág 311 y 312: 57 Encuentra un intervalo de longitud uno donde haya al menos una solución en la ecuación 1 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0. Demuestra que es única. Demuestra que la ecuación x3 + x2 – 1 = 0 tiene una única solución en los números reales positivos, indicando en qué teoremas te basas y escribiendo sus enunciados.

DERIVADAS SUCESIVAS Pág 283: 15 a, b, c, d, e, f