Ecuaciones de la recta

Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones de la recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación. La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

Ecuación de la recta que pasa por el origen Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x. Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Ecuación de la recta que pasa por el origen. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: Esto es, Es decir, y = mx

Ecuación de la recta en su forma punto pendiente Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada. Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como:

Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos: Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta. Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es: 5y-x+18=0

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos. Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura: A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

O bien, la pareja de coordenadas del punto B Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta. Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0

Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen. Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

Calculando la pendiente Despejando y, y ordenando los términos La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y

Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p y q respectivamente. Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto. Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias. Sol. Punto de equilibrio:

Ecuación de la recta en forma simétrica. La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b). Al calcular la pendiente obtendríamos:

Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos Ordenando los miembros de la ecuación Esta es la ecuación simétrica de la recta.

Ecuación general de la recta. La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0 A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C  0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x. Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.

Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C  0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y. Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.

Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.

Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general toma la forma Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra

Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales Sol. Longitud total de las vigas 59.41m