APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Tema 8 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Tema 8.4 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Sea la curva y = f (x). Sea x=a un punto cualquiera de la curva. Sea y = t(x) la ecuación de la recta tangente a la curva por dicho punto. DEFINICIONES Si en las cercanías de a tenemos f(x) > t(x) la curva es CÓNCAVA o CÓNCAVA HACIA ARRIBA en a. La curva está por encima de la tangente. Si en las cercanías de a tenemos f(x) < t(x) la curva es CONVEXA o CÓNCAVA HACIA ABAJO en a. La curva está por debajo de la tangente. Si a la izquierda de a tenemos f(x) < t(x) y a la derecha de a tenemos f(x) > t(x) o viceversa Entonces x = a es un PUNTO DE INFLEXIÓN. En P(a, f(a)) la curva cambia de cóncava a convexa o viciversa. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD y = f (x) y = t (x) f (x) > t (x)  CÓNCAVA x=xo y = t (x) x=xo f (x) < t (x)  CONVEXA y = f (x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS Puntos de INFLEXIÓN y = f (x) y = t (x) Cóncava x=xo Convexa Convexa - 3 -2 -1 0 1 2 PUNTO DE INFLEXIÓN Cóncava @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS SEGUNDA DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS Como la derivada de una función f es otra función f’, podemos hallar la TVI de la nueva función. Esta función se designa por f ’’(x) o D f ‘ (x) f ‘ (x + h) – f ‘ (x) f “(x) = lím ---------------------- h  0 h La derivada de la función derivada es otra función y por tanto una expresión algebraica. Se emplea para estudiar la curvatura de una función, así como los puntos de inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS EJEMPLOS Sea f(x) = x3 Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 3. x2 , que es otra función. La segunda derivada será: f “ (x) = 6.x La derivada tercera será: f “’ (x) = 6 La derivada cuarta será: f IV (x) = 0 Sea f(x) = – sen x Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = – cos x, que es otra función. La segunda derivada será: f “ (x) = sen x La derivada tercera será: f “’ (x) = cos x La derivada cuarta será: f IV (x) = – sen x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS EJEMPLOS Sea f(x) = ln x Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 1 / x , que es otra función. La segunda derivada será: f “ (x) = – 1 / x2 La derivada tercera será: f “’ (x) = 2.x / x4 = 2 / x3 La derivada cuarta será: f IV (x) = – 6 .x2 / x6 = – 6 / x4 Sea f(x) = sen 5x Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 5.cos 5x, que es otra función. La segunda derivada será: f “ (x) = – 25.sen 5x La derivada tercera será: f “’ (x) = – 125.cos 5x La derivada cuarta será: f IV (x) = 625.sen 5x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS SEGUNDA DERIVADA Si f(x) tiene segunda derivada en xo, se cumple que: Si f(x) es cóncava en a  f ‘ (x) es creciente en a  f ’’ (a) ≥ 0 Si f(x) es convexa en a  f ‘ (x) es decreciente en a  f ’’ (a) ≤ 0 Si f(x) tiene un punto de inflexión en a  f ’’ (a) = 0 Conclusiones Si f ‘’(a) > 0  f (x) es cóncava en a. Si f ‘’(a) < 0  f (x) es convexa en a. Si f ‘’(a) = 0 y f ‘’’ (a) <>0  f (x) tiene un P.I. en x=a. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

IDENTIFICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f ‘ (x) = 0 y existe segunda derivada en a, entonces: Si f ‘’(a) > 0  f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en x=a. Si f ‘’(a) < 0  f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en x=a. EJEMPLO_1 Sea y = (1 / 3) x3 – (3 / 2) x2 + 2 x – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 – 3x + 2  y ‘ = 0  (x – 1).(x – 2) = 0 Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x – 3 En x=1  y ‘’ (1) = 2 – 3 = - 1 < 0  Máximo relativo en x=1 En x=2  y ‘’ (2) = 4 – 3 = 1 > 0  Mínimo relativo en x=1 Igualamos a cero la segunda derivada: y ‘’ = 0  2.x – 3 = 0  x = 1,5  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS EJEMPLO_2 Sea y = (1 / 3) x3 + x2 – 5 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = x2 + 2x  y ‘ = 0  x .(x + 2) = 0 x=0 y x= - 2 son los posibles máximos y mínimos relativos. Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = 2.x + 2 En x = 0  y ‘’ (0) = 2.0 + 2 = 2 > 0  Mínimo relativo en x=0 En x = – 2  y ‘’ (– 2 ) = – 4 + 2 = – 2 < 0  Máximo relativo en x= – 2 y ‘’ = 0  2.x + 2 = 0  x = – 1 es el posible P. de Inflexión.  y ‘’’ = 2 <>0  P. Inflexión. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS EJEMPLO_3 Sea y = – (x – 2)3 – 1 y= – x3 + 6.x2 – 12.x + 7 Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión. Sea y ’ = – 3.x2 + 12.x – 12 y ‘ = 0  x2 – 4.x + 4 = 0 (x – 2)2 = 0  x = 2  Posible max/min Hallamos la segunda derivada: y ‘’ = – 6.x + 12 En x = 2  y ‘’ (2) = 0 Aunque la primera derivada sea 0 el punto no es ni un Max ni un Min. relativo. Para que en un punto haya un máx. o un mín. es necesario que y ’ = 0, pero no suficiente. Veamos si es un P.I. y’’(2) = 0  y’’’ = – 6 y’’’ (2) = – 6 <> 0  P(2, -1) es un PI @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS EJEMPLO_4 Sea y = |x2 – 1| Hallar los puntos singulares y los puntos de inflexión. Eliminamos el valor absoluto: x2 – 1 si x =< – 1 y = – x2 + 1 si – 1 < x < 1 x2 – 1 si x >=1 Calculamos la derivada primera: 2.x si x =< – 1 y ‘ = – 2.x si – 1 < x < 1 2.x si x >=1 Igualamos a cero para calcular los puntos singulares: 2.x = 0  x = 0 si x =< – 1  NO y ‘ = – 2.x = 0  x = 0 si – 1 < x < 1  SI 2.x = 0  x = 0 si x >=1  NO En x = 0  y” = – 2 < 0  Máximo relativo. x = 0  y (0) = |0 – 1| = 1  Máx(0 , 1) Max(0,1) No son puntos singulares ni de inflexión @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS

Apuntes 2º Bachillerato CS … EJEMPLO_4 Sea y = |x2 – 1| Calculamos la derivada segunda: 2 si x =< – 1 y “ = – 2 si – 1 < x < 1 2 si x >=1 Igualamos a cero para calcular los puntos de inflexión: y ‘’ <> 0 en todos los casos. No existen puntos de inflexión. Sin embargo vemos que en x = – 1 la curva cambia de cóncava a convexa, y en x 0 1 cambia de convexa a cóncava. Para que en un punto haya un punto de inflexión es necesario que y ” = 0, pero no suficiente, pues y’’’ debe ser <> 0. En x = – 1 y x = 1 hay puntos angulosos, donde la derivada no existe al ser distintas sus derivadas laterales. Max(0,1) No son puntos singulares ni de inflexión @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato CS