Curso de Análisis Estadístico de Datos Composicionales ICP-Piedecuesta, Santander Marzo-2007 Introducción a los conceptos necesarios del álgebra lineal R. Meziat Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes

Contenido 1.Operaciones vectoriales 2.Espacios vectoriales 3.Espacios euclideos 4.Producto interior 5.Norma y distancia 6.Subespacios vectoriales 7.Espacios afines 8.Dimensión y bases 9.Bases ortogonales 10.Proyecciones ortogonales 11.Ejemplos

1.Operaciones vectoriales En un espacio vectorial priman dos operaciones denominadas suma vectorial multiplicación por escalar Estas operaciones deben reproducir las mismas caracterísiticas de la suma de vectores en el plano cartesiano como se emplean en física y geometría

2.Espacios vectoriales Definiciones: Conjunto V de elementos llamados vectores Operación binaria VxV R:(x,y) x+y llamada suma vectorial Operación binaria RxV R:(a,y) ax llamada multiplicación por escalares Combinación lineal de los vectores x e y, con los escalares a y b : ax+by.

2.Espacios vectoriales Propiedades del espacio vectorial V Suma: conmutativa, asociativa, elemento identidad, inversas Multiplicación por escalar: distributiva: a(x+y)=ax+ay distributiva: (a+b)x=ax+bx (ab)x=a(bx) 1x=x 0x=0 Clausura frente a combinaciones convexas: ax+by є V, cuando x,y є V y a,b є R

3.Espacios euclideos Definiciones V es la colección de n-tuplas ordenadas de números reales La suma vectorial y la multiplicación por escalares se definen componente a componente: Hay elemento identidad para la suma e inversos aditivos: El conjunto V y las operaciones presentadas cumplen las propiedades, V se llama espacio euclideo de dimensión n y se representa como Rⁿ.

4.Producto interior Un producto interior en un espacio vectorial V es una operación binaria VxV R: (x,y) <x,y> con las siguientes propiedades: bi-lineal (lineal por componente) conmutativa <x,y> = <y,x> <x,x>≥0, para cada x є V <x,x>=0, si y sólo si x=0 Desigualdad de Cauchy-Schwartz: Ejemplo:

4.Producto interior Caracterización de productos interiores en espacios euclideos.

5.Norma de vectores Dado un producto interior en un espacio vectorial V, podemos definir la norma de cada vector como: Las propiedades de la norma son: Desigualdad Triangular: Desigualdad de Cauchy:

5.Norma y distancia Norma en los espacios euclideanos Rⁿ Dado el producto interior en un espacio euclideano definido como: la norma inducida en Rⁿ por este producto interior es: Cualquier norma en el espacio euclideano Rⁿ está definda como: donde A es una matriz cuadrada, simétrica y definida positiva con dimensión nxn.

5.Norma y distancia Distancia inducida por una norma Dada una norma en un espacio vectorial V podemos inducir una función distancia entre dos vectores como: Las propiedades de la función distancia inducida de esta forma son: La función distancia inducida por la norma natural del espacio euclideo Rⁿ es:

6.Subespacios vectoriales Dado un espacio vectorial V, un subespacio vectorial de V es un subconjunto W de V que es cerrado bajo la toma de combinaciones lineales. Cuando A es un subconjunto de V, la familia de todas las combinaciones lineales formadas con vectores de A se denomina Span(A) y es evidentemente un subespacio vectorial de V. V y {0} son subespacios vectoriales de V. La forma más general de representar subespacios vectoriales en el espacio euclideo Rⁿ, es como los conjuntos de soluciones de sistemas lineales homogéneos descritos como Ax=0m donde A es una matriz de m x n.

6.Subespacios vectoriales

6.Subespacios vectoriales Subespacio lineal de Rⁿ - Nulidad de la matriz A Subespacio lineal de - Rango de la matriz A TEOREMA DE LA DIMENSIÓN: NULIDAD + RANGO = n

7.Espacios afines Un espacio afín (variedad afín) en un espacio vectorial V es un conjunto L que se puede expresar como la traslación de un subespacio vectorial W, es decir: L=W+x. En general, cada espacio afín L en un espacio euclideo Rⁿ se puede representar como el conjunto solución a un sistema lineal no homogéneo: Ax=b.

7.Espacios afines Ejemplo 1: rectas en el plano Ejemplo 2: planos en el espacio Ejemplo 3: hiperplanos Ejemplo 4: intersecciones de éstos

8.Dimensión y bases Si para un espacio vectorial V podemos encontrar un subconjunto B tal que sus vectores son linealmente independientes y cuyo generado lineal coincide con V: Span(B)=V, decimos que B es una base para el espacio vectorial V. Cada base de V tiene el mismo número de elementos al cual llamamos dimensión del espacio vecorial V. Cuando B es base de V, cada elemento de V se puede expresar de una única forma como combinación lineal de los vectores en la base B. Cuando

8.Dimensión y bases La aplicación es una biyección entre V y Rⁿ que preserva las operaciones lineales: T(ax+by)=aT(x)+bT(y) T es un isomorfismo de espacio vectorial. Empleando un sistema de coordenadas, cada espacio vectorial V de dimensión finita n se identifica con el espacio euclideo Rⁿ. Esencialmente todo espacio vectorial de dimensión n corresponde al espacio euclideo Rⁿ. Una base para Rⁿ es La transformación T:V Rⁿ cumple:

9.Bases ortogonales Cuando V es un espacio vectorial con producto interior, decimos que dos vectores x e y son ortogonales cuando <x,y>=0. Extiende la situación geométrica del Plano Cartesiano en la cual Una base B del espacio vectorial V se llama ortogonal cuando sus vectores son ortogonales entre sí. Una base B se llama ortonormal cuando sus vectores son ortogonales y unitarios entre sí. Ejemplo: es una base ortonormal para Rⁿ.

9.Bases ortogonales Papel de las bases ortonormales: caracterización de bases ortonormales cálculo de coordenadas en bases ortonormales cualquier base de V se puede transformar en una base ortonormal: proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

10.Proyecciones ortogonales Dado un subespacio W de un espacio vectorial V con producto interior, existe una aplicación natural P:V W, llamada proyección ortogonal de V sobre W que tiene las siguientes propiedades: x W P(x)

10.Proyecciones ortogonales Cuando W es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V podemos representar la proyección natural P:V W de la siguiente manera:

11.Ejemplo: R y R+ R=(-∞,∞) Operaciones de suma y multiplicación forman un espacio vectorial de dimensión 1 El número 1 es una base ortonormal R+=(0,∞) Operaciones vectoriales: Producto interior: Norma: Distancia: El número e es una base:

11.Ejemplo: extensiones a Rⁿ+ En el cuadrante generalizado Rⁿ+ Suma vectorial: Multiplicación por escalares: Producto interno: Norma: Distancia: Base: