FUNCIONES BÁSICAS Tema : TÓPICOS DE MATEMÁTICA (E.S.C.) Ciclo 2007-1 UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS TÓPICOS DE MATEMÁTICA (E.S.C.) Ciclo 2007-1 Tema : FUNCIONES BÁSICAS

Logros de esta unidad: Explica el significado de función Identifica el dominio de una función Grafica funciones básicas (Lineal, Cuadrático, Cúbico, Logaritmo, Exponencial) Define una función trigonométrica. Identifica el periodo, amplitud y desplazamiento de la función seno y coseno Resuelve ecuaciones de 2do grado, ecuaciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

FUNCIÓN Una función es una regla o correspondencia que asigna a cada número de entrada un único número de salida. Al conjunto de número de entrada se llama dominio de f y se denota por dom(f). Al conjunto de números de salida se llama rango de f y se denota por ran(f) X  f  f(x) Entrada Proceso Salida Ej. f(x)=x+3 Si x=2 tenemos f(2)=5 x=4 tenemos f(4)=7

Una variable que representa los números de entrada para una función se llama variable independiente. La que representa los números de salida es una variable dependiente. Ejemplo Variable independiente A(r) =  r2 Variable dependiente

Dominio no especificado Considere una función: y = f(x) x: se denomina variable independiente (toma cualquier valor del dominio) y: se denomina variable dependiente (porque su valor depende de x) Si dom(f) no se especifica, entonces, el dom(f) es el conjunto más grande de valores de x para los que f(x) existe.

Ejemplo Determine el dominio de: a) b) c) d)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 b 1 -1 -2 -3 Función Lineal Afín f(x) = ax + b

Función Cuadrática -2 -1 0 1 2 4 3 2 1 f(x) = x2

La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x 1 y = ex y = ln x x y

i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr Definición: Si x es cualquier número real,entonces ln y = x si y sólo si e x = y Teorema Si p y q son números reales y r es un número racional,entonces i) epeq=e p+q ii) iii) (ep)r=epr

ECUACIÓN CUADRÁTICA ax2+bx+c=0 5x2-2x-7=0 (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2 X= Resolver: 5x2-2x-7=0 (x-2)2+(x+1)2=(x+3)2

Ecuación exponencial, logarítmica Resolver:

Tópicos de Matemáticas Función Seno Ecuaciones trigonométricas

Conceptos previos Determina la altura de la torre Eiffel, si los elementos que se conocen son el ángulo de elevación  y la longitud de la sombra proyectada sobre el piso. 60° 187 m

Razones trigonométricas Conceptos previos Razones trigonométricas   Hipotenusa Cateto opuesto  Cateto adyacente

Triángulos rectángulos notables Conceptos previos 30° 60° 2L Triángulos rectángulos notables 45° L L Ejercicio1 Si  es un ángulo agudo y cos  =3/4 , calcular los valores de las seis funciones trigonométricas de . Ejercicio 2 Calcular los valores de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.

Circunferencia trigonométrica Conceptos Circunferencia trigonométrica La circunferencia trigonométrica es la circunferencia radio 1 centrado en el origen del plano XY. Su ecuación es: x2+y2=1 1 Observar que se tiene:

De manera general se tiene las funciones trigonométricas para cualquier segmento OP donde P(x,y)

Conceptos Definición de función Periódica. Una función f es periódica si existe un número T real positivo, tal que f(x+T)=f(x), para todo x del dominio de f. El mínimo número real positivo T, si existe se llama periodo de f. 2π es el periodo de las funciones seno y coseno

La gráfica de la función y = sen(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2π Su periodo es 2 π Además sen(-x)=-sen(x)

La gráfica de la función y = cos(x), se puede obtener dándole valores a x desde 0 hasta 2π Su periodo es 2 π Además cos(-x)=cos(x)

La función coseno puede interpretarse como un desplazamiento de la función seno: sen(x)=cos(x-π/2)

¿Cómo varía la gráfica de la función sen x, al cambiar los valores de los parámetros A , ω>0 , φ? Donde:

Gráfica de las funciones Sen(x) 3sen(x) -3sen(x)

Gráfica de las funciones sen(x) sen(3x)

Gráfica de las funciones sen(x) sen(x-π/3) sen(x+ π/3)

Gráfica de las funciones sen(x) 3sen(2x-2π/3)

A partir de la grafica de la función trigonométrica, trace la grafica de la función, sin localizar puntos. a) y=2sen(t+π/6) b) y=cos(t+ π/3) 2. Determine la amplitud y el período de la función f(x) = 2sen (x/2). 3. Determine la amplitud, el período y trazar la gráfica de f(x) = 2sen (-3x+π).

Ecuaciones trigonométricas: Son aquellas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Solución: Son los valores que puede tomar x para la cual la ecuación se convierte en una identidad. Nota: tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes. Halle las soluciones de la ecuación en el intervalo [0, 2 π]. Cos(x)=1/2 sen(2x+π/3)=-1 Sen(t) tan(t)=sen(t)

Combinación lineal de las funciones sen(x) y cos(x) Para a y b números reales, a>o la función f(x) = a.sen (Bx)+b.cos(Bx) Puede escribir en términos de la forma: f(x) = A.cos(Bx-C) Donde

Empleando la fórmula desarrollada anteriormente graficar las funciones: