El Modelo de Crecimiento de Solow

Parte I Cómo el producto por trabajador y el crecimiento económico son determinados por el ahorro.

El modelo de crecimiento de Solow es tambien conocido como el modelo de crecimiento neoclasico o el modelo de crecimiento exogeno.

Proemio Los modelos tales como “la economía cerrada” y “la pequeña economía abierta” proporcionan una visión estática de la economía. El modelo de crecimiento de Solow permite una visión dinámica de como, con el tiempo, el ahorro, el crecimiento de la población y el cambio tecnológico determinan el avance de la economía.

Las variables del Modelo La variable exógena es s (tasa de ahorro). Las variables endógenas del modelo son y y k (producto y capital por trabajador). La variable exógena es s (tasa de ahorro). En el modelo de Solow el equilibrio de largo plazo ocurre en el punto en donde la inversion por trabajador i y la depreciacion del capital k se igualan e y permanece constante (y=0)

Construyendo el Modelo: La oferta del mercado de bienes Partimos de la función de producción: Y = ƒ (K,L) Asumimos rendimientos constantes: zY = ƒ (zK,zL) Reemplazando z = 1/L Creamos la función de producción por trabajador……….. Y/L= ƒ (K/L,1) …. y = ƒ(k) Así resulta que el producto por trabajador (productividad) es función del capital por trabajador.

Construyendo el Modelo: La oferta del mercado de bienes Trazamos producto por trabajador vs. capital por trabajador La pendiente de esta función es el producto marginal del capital por trabajador: PMK = ƒ (k+1)- ƒ(k) k y y=ƒ(k) Cambio en y Indica el cambio en el producto por trabajador que resulta del aumento del capital por trabajador en uno. Cambio en k

Construyendo el Modelo: La inversion por trabajador es i = s*y …. o i = s*ƒ(k) k y y =ƒ(k) El producto por trabajador depende de la inversion por trabajador. i = s*ƒ(k)

Construyendo el Modelo: La demanda del mercado de bienes Partimos del consumo e inversión por trabajador. (El gasto gubernamental y las exportaciones netas no se incluyen en el modelo de Solow). Llegamos al ingreso por trabajador y = c + i Dados la tasa de ahorro (s) y la tasa de consumo (1-s) la función de consumo es c = (1-s) y Remplazamos y = (1-s) y + i Reestructuramos i = s * y La inversión por trabajador es igual a la tasa de ahorro por el producto por trabajador.

El Estado estacionario El estado estacionario es el estado de equilibrio de largo plazo de la economia. Ocurre en el punto en donde i y k se igualan e y permanece constante.  = tasa de depreciacion

Equilibrio en el Estado Estacionario Como y = ƒ(k), sustituyendo y por ƒ(k) .. la función inversión por trabajador i = s*y se convierte en i = s*ƒ(k) El desgaste del capital es igual al producto de la tasa de depreciación  por el capital por trabajador k .. k El impacto de la inversión y la depreciación del capital se expresa en la siguiente formula cambio en acumulacion del capital ………k = i - k sustituyendo s*ƒ(k) por i ……  k = s*ƒ(k) - k

Equilibrio en el Estado Estacionario Si la asignacion inicial de k fue demasiado alta, k disminuira porque la depreciacion excede la inversion.  k = i - k Si la asignacion inicial de k fue demasiado baja, k aumentara porque la inversion excede la depreciacion. k s*f(k),δk s*ƒ(k) δk k alto k* s*ƒ(k*)=δk* En el punto en donde s*ƒ(k) = k  k = 0  k = s*ƒ(k) - k = 0 Este punto es el punto de equilibrio k*. k bajo En k* la depreciacion iguala la inversion.

Equilibrio en el Estado Estacionario (demostración) La asignación inicial de k es demasiado baja. k s*ƒ(k),δk s*ƒ(k) δk k2=k1+k inversion - depreciacion k3=k2+k k4=k3+ k k* s*f(k*)=δk* k5=k4+ k Este proceso continúa hasta que s*ƒ(k) y δk convergen en k* k1 k2 k3 k4 k5 K2 todavía es demasiado baja. K3 todavía es demasiado baja. K4 todavía es demasiado baja. K5 todavía es demasiado baja.

Ejemplo Numérico Dividiendo por L la función de produccion de Cobb-Douglas …….Y=K1/2L1/2 Obtenemos la funcion producción por trabajador …. Y/L=(K/L)1/2 …o… y = k1/2 k cambia hasta que  k = s*ƒ(k) - k = 0 es decir hasta que s*ƒ(k) = k

En el equilibrio s*ƒ(k) = k. .. o… Ejemplo Numérico Dado s y el k inicial, podemos calcular los valores que adoptan con el tiempo las variables en su trayecto al estado estacionario. Asumamos s = 0.4,  = 0.09 y k1 = 4. En el equilibrio s*ƒ(k) = k. .. o… ……..0.4*k1/2 = 0.09*k … 4.444 = k1/2 ... k* = 19.749.

Ejemplo Numérico ¿Cómo calculamos las variables? El algoritmo para cada período es el siguiente: En el periodo 1 y = k1/2 …. y = 41/2 = 2 Como c = (1-s)y y s = 0.4, c = 0.6y = 1.2 Como i = s*y …. i = 0.4*2 = 0.8 k = 0.09*4 = 0.36 k = s*y - k .... k = 0.8 - 0.36 = 0.44 Así, en el próximo período, k = 4 + 0.44 = 4.44.

Ejemplo Numérico k y c i δk Δk Período 1 4 2 1.2 .8 .36 .44 4.44 2.107... 1.264... .842… .399… .443… . 12 8.344... 2.889... 1.733... 1.155... .751… .404… ∞ 19.749. 4.44… 2.667... 1.777... 0.000...

Cambiando la variable exógena: el ahorro El estado estacionario está en el punto en dónde s*ƒ(k) =  k k s*ƒ(k), δk δk s*ƒ(k) s*f(k *)=δk* s*ƒ(k) ¿Y si aumentamos la tasa de ahorro? Esto aumenta la pendiente de la función de inversión. La función cambia hacia arriba k* s*f(k*)=δk* k * Esto aumenta el nivel del capital y del producto por trabajador del estado estacionario. ¿Y si bajamos la tasa de ahorro? Esto disminuye el nivel del capital y del producto del estado estacionario.

Conclusión El modelo de Crecimiento de Solow es un modelo dinámico que nos permite ver cómo la variable exógena ahorro afecta a las variables endógenas: capital por trabajador y producto por trabajador. También como la depreciación afecta la formacion de capital, y el efecto que la asignacion inicial de capital tiene en la determinacion de los valores de las variables en su trayectoria hacia el equilibrio. En la próxima presentacion incluiremos los cambios en otras variables exógenas; el crecimiento de la población y el cambio tecnológico.