© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Tratamiento de Discontinuidades II En esa presentación trataremos otra vez con el modelado de sistemas discontinuos. Empezamos introduciendo otro método para su descripción matemática. Ese método está usando una descripción parametrizada de la curva. En seguida trataremos con el problema de la causalidad variable. Acabamos con la presentación de un método que permite resolver problemas de la causalidad de forma elegante.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Contenido Descripciones parametrizadas de curvasDescripciones parametrizadas de curvas La causalidad de la ecuación de conmutaciónLa causalidad de la ecuación de conmutación Diodos rezumantesDiodos rezumantes La singularidad de la ecuación de conmutaciónLa singularidad de la ecuación de conmutación La integración “inline”La integración “inline” La causalidad de la integración inlineLa causalidad de la integración inline

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Descripciones Parametrizadas de Curvas Siempre es posible describir funciones discontinuos por medio de curvas parametrizadas. Se ilustrará esa técnica usando el ejemplo de la característica del diodo. u i blocking conducting s = 0  s s  Domain: Condition: Equations: blocking: s < 0 u = s; i = 0 conducting: s > 0 u = 0; i = s Domain = if s < 0 then blocking else conducting; u = if Domain == blocking then s else 0 ; i = if Domain == blocking then 0 else s ;

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Conmutador abierto: ¡División por 0! i = 0 Conmutador cerrado: u = 0 ¡División por 0! Causalidad de la Ecuación de Conmutación I Consideramos una vez más la ecuación de conmutación en su forma algebraica: Podemos resolver esa ecuación o por u o por i : 0 = s · i + ( 1 – s ) · u u = s s – 1 · i Conmutador abierto: s = 1 Conmutador cerrado: s = 0 i = s s – 1 · u

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Causalidad de la Ecuación de Conmutación II Ninguna de las dos ecuaciones causales puede usarse an las dos posiciones del conmutador. Una o otra de las dos posiciones produce una división por 0. Es exactamente lo que pasa en la simulación si la causalidad de la ecuación de conmutación es fija. La causalidad de la ecuación de conmutación siempre tiene que estar libre.  La ecuación de conmutación siempre tiene que incluirse en un bucle algebraico. 

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Ejemplo I C + ~ RiRi U0U0 D RLRL

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Ejemplo II C + ~ RiRi U0U0 D RLRL Las dos causalidades son posibles. Entonces no hay problemas con la simulación.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Ejemplo III

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Segundo Ejemplo L C + ~ U0U0 RLRL D La causalidad es fija. Pues hay problemas con la simulación.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Diodo Menos Ideal I Una posibilidad para evitar problemas con la causalidad consiste en añadir una resistencia de derrame R on al conmutador cerrado y una conductancia de derrame G off al conmutador abierto. u i blocking conducting s = 0  s s  Domain: Condition: Equations: blocking: s < 0 u = s; i = G off · s conducting: s > 0 u = R on · s; i = s Domain = if s < 0 then blocking else conducting; u = s*( if Domain == blocking then 1 else R on ); i = s*( if Domain == blocking then G off else 1 );

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Diodo Menos Ideal II Es la solución que se implementó en la biblioteca estándar de Modelica. La misma solución se ofrece también en la biblioteca BondLib en la forma de un modelo de un diodo rezumante.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Un Diodo Menos Ideal III

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Problemas I Para aplicaciones eléctricas, la solución usando un diodo rezumante es frecuentemente aceptable. Un problema tiene que ver con el comportamiento numérico. Si el circuito usando un diodo ideal resulta en una división por cero, el circuito usando un diodo rezumante resulta en un modelo rígido. Modelos rígidos pueden simularse en Modelica usando el algoritmo de integración estándar (DASSL). Sin embargo, la simulación puede resultar ineficiente y inútil, al menos para aplicaciones en tiempo real.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Problemas II En el caso de aplicaciones mecánicos, el método es menos útil, porque las características de rozamiento tienen que simularse con mucha precisión y además, en aplicaciones mecánicas, las causalidades de los elementos son casi siempre fijas. Las masas (y inercias) deciden sobre las velocidades, y las fuerzas (y pares de torsión) de elementos de rozamiento y muelles deben determinarse usando los elementos R y C en una causalidad predefinida. Por consecuencia se debe buscar otra solución para estas aplicaciones.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 El Algoritmo de la Integración “Inline” Usando un método de integración inline, el algoritmo de la integración se inserta directamente en el modelo (o alternativamente: las ecuaciones del modelo se insertan en el algoritmo de la integración). Consideramos una inductancia integrada usando el algoritmo de Euler implícito. u L = L · di L /dt i L (t) = i L (t  h) + h · di L (t) /dt i L (t) = i L (t  h) + (h/L) · u L (t) 

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 La Causalidad de la Integración Inline i L (t) = i L (t  h) + (h/L) · u L (t) Conocido porque calculado en el pasado. Constituye una relación algebraica entre i y u. La ecuación se comporta como un resistor. Entonces se liberó la causalidad. Si se usa un algoritmo de integración inline, las causalidades de los elementos de almacenaje se liberan. Por consecuencia desaparece el problema de la división por cero.

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Diodo Ideal con Integración Inline I

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Diodo Ideal con Integración Inline II

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Referencias I Elmqvist, H., M. Otter, and F.E. Cellier (1995), “Inline integration: A new mixed symbolic/numeric approach for solving differential-algebraic equation systems,” Proc. ESM’95, European Simulation Multi-conference, Prague, Czech Republic, pp. xxiii – xxxiv.Inline integration: A new mixed symbolic/numeric approach for solving differential-algebraic equation systems Otter, M., H. Elmqvist, and S.E. Mattsson (1999), “Hybrid modeling in Modelica based on the synchronous data flow principle,” Proc. CACSD’99, Computer-Aided Control System Design, Hawaii.Hybrid modeling in Modelica based on the synchronous data flow principle

© Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 8, 2008 Referencias II Krebs, M. (1997), Modeling of Conditional Index Changes, MS Thesis, Dept. of Electr. & Comp. Engr., University of Arizona, Tucson, AZ.Modeling of Conditional Index Changes Cellier, F.E. and M. Krebs (2007), “Analysis and simulation of variable structure systems using bond graphs and inline integration,” Proc. ICBGM’07, 8 th Intl. Conf. Bond Graph Modeling and Simulation, San Diego, CA, pp Analysis and simulation of variable structure systems using bond graphs and inline integration