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Sistemas Mecánicos en el Plano
En esa presentación hablaremos de sistemas mecánicos en el plano que pueden o trasladar o girar en un espacio bidimensional. Enseñaremos la semejanza entre la descripción matemática de este tipo de sistemas y la de los circuitos eléctricos mencionados en la presentación anterior. En particular se demostrará que los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas (los algoritmos de la ordenación) que introdujimos en la presentación anterior pueden aplicarse a ese nuevo tipo de sistemas igualmente sin ninguna modificación. Febrero 4, 2008
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Contenido Elementos lineales de traslado Elementos lineales de giro
El principio de d’Alembert Ejemplo de un sistema de traslado La ordenación horizontal Febrero 4, 2008
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Elementos Lineales de Traslado
f 1 2 3 m·a = S (fi ) i Masa Rozamiento Muelle dv dt = a dx dt = v B f v 1 2 f = B·(v1 – v2 ) B f x 1 2 k f = k·(x1 – x2 ) Febrero 4, 2008
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Elementos Lineales de Giro
J·a = S (ti ) i d dt = a d = Inercia Rozamiento Muelle J 1 2 B = B·(1 – 2 ) k = k·( 1 – 2 ) Febrero 4, 2008
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Articulaciones sin Grados de Libertad
xa = x b = x c fa + f b + f c = 0 va = v b = v c aa = a b = a c x a b f c Nodo (Traslado) Nodo (Giro) a b c a = b = c a + b + c = 0 a = b = c aa = a b = a c Febrero 4, 2008
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Articulaciones con un Grado de Libertad
x1 x2 y1 = y2 1 = 2 Prismático Cilíndrico Tijeras x 1 2 1 2 x1 = x2 y1 = y2 1 2 1 2 Febrero 4, 2008
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El Principio de d’Alembert
Introduciendo una fuerza inercial: fm = - m·a la segunda ley de Newton: m·a = S (fi ) i puede convertirse a una ley de la forma: S (fi ) = 0 i Febrero 4, 2008
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Convenciones de Signo d(m·v) fm = + dt fk = + k·(x – xNeighbor )
fB = + B·(v – vNeighbor ) x d(m·v) dt fm = - fk = - k·(x – xNeighbor ) fB = - B·(v – vNeighbor ) f m m f k f B Febrero 4, 2008
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1. Ejemplo (Traslado) Vista Esquemática Vista Topológica
Febrero 4, 2008
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1. Ejemplo (Traslado) II El sistema se corta entre las masas individuales y se introducen fuerzas de corte. Ahora el principio de d’Alembert puede aplicarse a cada cuerpo por separado. Febrero 4, 2008
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1. Ejemplo (continuado) F(t) = FI3 + FBa + FBb
FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 Febrero 4, 2008
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Ordenación Horizontal I
F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 Febrero 4, 2008
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Ordenación Horizontal II
F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 Febrero 4, 2008
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Ordenación Horizontal III
F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 Febrero 4, 2008
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Ordenación Horizontal IV
FI3 = F(t) - FBa - FBb FI2 = FBa - FBc - FB2 - Fk2 FI1 = FBb + FB2 - FBd - Fk1 = FI1 / m1 dv1 dt dx1 = v1 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 = FI2 / m2 dv2 dx2 = v2 = FI3 / m3 dv3 dx3 = v3 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 Febrero 4, 2008
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Algoritmo de Ordenación
El algoritmo de la ordenación funciona exactamente como antes en el caso de los circuitos eléctricos. No depende de la aplicación. Febrero 4, 2008
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Referencias Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 4. Febrero 4, 2008
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