Visualización 3D Proyecciones Vistas Infografía I Visualización 3D Proyecciones Vistas © 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Introducción En 2D especificamos una ventana en el mundo 2D y un viewport sobre la superficie de visión La complejidad extra de la visualización 3D proviene de La dimensión añadida El hecho de que la superficie de representación sigue siendo 2D Ello nos obliga a la proyección del mundo 3D sobre el 2D  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Estrategias Existen 2 estrategias fundamentales Trazado de rayos (screen to world) Para cada píxel de la pantalla se traza un rayo que parte de la posición del observador, pasa por el píxel y va a parar a la escena. Proyección de primitivas (world to screen) Las escenas se componen de primitivas que son proyectadas sobre la pantalla.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Estrategia (proyección) En la visualización 3D se especifica un volumen de visualización 3D en el mundo una proyección sobre un plano un “viewport” sobre la superficie de visualización El contenido de la proyección del volumen sobre el plano de proyección (la “ventana”) se transforma sobre el viewport para su presentación Las estrategias varían según los sistemas y las simplificaciones que se hacen.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Estrategia Coordenadas mundo 3D Coordenadas normalizadas 2D Recortado Proyección Viewport Coordenadas mundo 3D recortadas Coordenadas del dispositivo 2D  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Una proyección transforma puntos en un sistema de coordenadas de dimensión n en otro de dimensión m < n Nos limitaremos a la proyección 3D -> 2D Una proyección se define mediante unos rayos llamados proyectores que emanan del centro de proyección pasan por cada punto del objeto intersecan el plano de proyección. Factor de reducción: razón entre la longitud de la línea proyectada respecto a su valor real  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Centro de proyección Dirección de proyección  Perspectiva Paralela  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Perspectiva Efecto parecido al de la fotografía o el sistema visual humano El tamaño varía inversamente con la distancia del objeto al centro de proyección Realista No permite la medición precisa Los ángulos, en general no se preservan Los ángulos sólo se mantienen en las caras paralelas al plano de proyección.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Paralela No tan realista El tamaño no varía inversamente con la distancia del objeto al centro de proyección Pueden haber reducciones constantes de tamaño para cada eje Permite la medición precisa. El paralelismo permanece para todas las líneas. Los ángulos, en general, no se preservan como en la perspectiva.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones planas  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Perspectiva Puntos de fuga. Puntos donde convergen los conjuntos de rectas paralelas que no son paralelas al plano de proyección. Se pueden considerar proyecciones de puntos en el infinito. Existen infinitos puntos de fuga, uno para cada dirección posible de la recta. Si el conjunto de líneas es paralelo a uno de los ejes se denomina punto de fuga axial Hay como máximo 3 de ellos, uno por eje coordenado.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Perspectiva Z X Y  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Perspectiva  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Perspectiva Z X Y  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyección Paralela Clasificación en función de la relación entre la dirección de proyección y la normal al plano de proyección Ortográfica Direcciones paralelas Plano de proyección ortogonal a algún eje coordenado Planta Alzado Perfil Axonométrica Direcciones paralelas El plano de proyección no ortogonal a ningún eje coordenado Trimétrica Dimétrica Isométrica Oblicua Direcciones no paralelas Caballera Cabinet  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Ortográfica Alzado Plano de proyección ortogonal a z Visto “desde enfrente” Planta Plano de proyección ortogonal a y Visto “desde arriba” Perfil Plano de proyección ortogonal a x Visto “de lado”  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Ortográfica Planta Perfil Alzado  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección Ortográfica X Z Planta Z X Y Z Y Perfil X Y Alzado  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Axonométricas El plano de proyección no es ortogonal a ningún eje coordenado Enseñan múltiples caras del objeto Se parecen a una perspectiva, salvo en que el empequeñecimiento es constante, no depende de la distancia. Se preserva el paralelismo pero no los ángulos  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección trimétrica y dimétrica Trimétrica: Es la proyección axonométrica menos restrictiva Se forma mediante la concatenación arbitraria de giros alrededor de cualesquiera de los tres ejes seguida de la proyección sobre el eje Z El factor de reducción es diferente para cada eje No hay una fórmula general T matriz de concatenación, U matriz de los vectores unitarios  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección trimétrica y dimétrica Dimétrica: Caso particular de la Trimétrica Se forma mediante una rotación en torno al eje Y seguida de una rotación en torno a X seguida de la proyección sobre el eje Z Dos de los factores de reducción son iguales  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyección dimétrica  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyección dimétrica  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección isométrica Es la proyección axonométrica más restrictiva La normal al plano de proyección subtiende ángulos iguales con cada eje principal Si la normal es 120º Entonces la condición de isometría es Proyección isométrica de los vectores unitarios Hay 8 direcciones que lo cumplen. Una por cada octante. Permite realizar medidas en todos los ejes con la misma escala ya que todos los ejes disminuyen por igual  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Axonometricas Trimétrica Los tres factores de reducción diferentes  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Axonometricas Dimétrica Axonométrica con dos de los tres factores de reducción iguales  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Axonometricas Isométrica Los tres factores iguales Cuatro de las ocho proyecciones posibles  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones oblícuas En las proyecciones oblicuas La normal al plano de proyección y la dirección de proyección no son paralelas. Muestran varias caras del objeto Solo las caras paralelas al plano de proyección se muestran en su tamaño y forma correctos Los ángulos y las longitudes solo se preservan para estas caras. Las caras no paralelas al plano de proyección son distorsionadas  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones oblícuas Perspectiva Caballera La normal al plano de proyección y la dirección de proyección forman un ángulo de 45º. La proyección de una línea perpendicular al plano de proyección tiene la misma longitud que el original. Son fáciles de construir 1 1 a=30 a=45  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones Oblícuas Cabinet El ángulo que forman la dirección de proyección y la normal al plano de proyección es arctan(2)=63,4º Esto hace que la longitud de un segmento perpendicular al plano de proyección se acorte en 1/2 1/2 1  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones planas Recordemos...  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones geométricas planas Elementos matemáticos Suposiciones Proyección: El plano de proyección es normal a z Esta a una distancia d Paralela El plano de proyección es el plano z=0.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Perspectiva d P(x,y,z) Pp(xp,yp,zp) Z Y X d P(x,y,z) yp Z Y P(x,y,z) d xp X Z  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Perspectiva Lo que nos da, dividiendo por h y pasando a 3D  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Perspectiva Formulación alternativa d P(x,y,z) Pp(xp,yp,zp) Z Y X d xp X Z d P(x,y,z) yp Z Y P(x,y,z)  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Ortográfica sobre el plano z=0 Estas formulas aplican sólo en casos particulares Mper si el centro de proyección está en el origen Morto si la direccion de proyección es paralela a z Estudiaremos una formulación más general integra ambas en una sola matriz  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones D (0,0,zp) X ó Y Z CP Pp(xp,yp,zp) (dx,dy,dz) Distancia del plano al origen =zp CP, centro de proyección, a distancia D de (0,0, zp) El vector (dx,dy,dz) normalizado da la dirección de (0,0, zp) a CP Pp está en la línea entre P y CP La línea en paramétricas se escribe P(x,y,z) Un punto P’ cualquiera de la línea La proyección Pp de P está en la intersección de la línea con el plano => z’=zp Sustituimos z’ por zp y resolvemos en t  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones D (0,0,zp) X ó Y Z CP Pp(xp,yp,zp) (dx,dy,dz) Sustituimos t en x’ e y’ que pasan a ser xpe yp. Dividimos por -Ddz  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones D (0,0,zp) X ó Y Z CP Pp(xp,yp,zp) (dx,dy,dz) Análogamente para y. Para zp podemos hacer  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Tomamos el común denominador como la coordenada h de las coordenadas homogéneas del punto (xp, yp, zp)  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Proyecciones Mgral se convierte en Mper M’per y Morto bajo las condiciones siguientes: Mper si zp = d, D=d , dx=0, dy=0, dz=-1 M’per si zp = 0, D=d , dx=0, dy=0, dz=-1 Morto si zp = 0, D= , dx=0, dy=0, dz=-1 Si D no es infinito Mgral define una proyección con un punto de fuga Se puede ver que Mgral produce la perspectiva Caballera si zp = 0, D=  , dx=cosa, dy=sina, dz=-1 Cabinet si zp = 0, D=  , dx=cosa/2, dy=sina/2, dz=-1 Nótese que en todos estos casos el plano de proyección es perpendicular al eje z.  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Visualización 3D Proyección Los objetos se describen en coordenadas del mundo Las transformaciones geométricas nos permiten posicionarlos y moverlos. Además hay que establecer la proyección que nos permita captar la vista. Situar la cámara. Para representar una primitiva hay que Aplicar al objeto una transformación geométrica que lo sitúa en el espacio. Dependiendo de la posición y orientación del espectador se transforman las coordenadas al espacio visual Se proyecta sobre la pantalla  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Vistas 3D La visualización 3D precisa Definición de los parámetros Recortado contra un volumen 3D Cambio de sistema de coordenadas Proyección sobre el plano PHIGS Punto de referencia (View reference Point VRP) R = (Rx,Ry,Rz) Normal al plano de proyección (View Plane Normal VPN) N = (Nx,Ny,Nz) Distancia al plano de proyección (View Plane Distance VPD), D Vector vertical (View Up Vector VUP) define la vertical V = (Vx,Vy,Vz)  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Especificación gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(Rx,Ry,Rz),vert ((Vx,Vy,Vz))) glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos) glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos) R Ojo, Camara Vertical  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Especificación gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(Rx,Ry,Rz),vert ((Vx,Vy,Vz))) glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos) glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos) Arriba Abajo Lejos Izquierda Cerca Derecha  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Especificación gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(Rx,Ry,Rz),vert ((Vx,Vy,Vz))) glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos) glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos) Arriba Abajo Lejos Izquierda Cerca Derecha  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA Tubería de trazado Coordenadas normalizadas 2D Coordenadas objeto 3D Posicionado Visualización Proyección Recorte Conversion a NDC Viewport Coordenadas observador Coordenadas 2D o 3D para Z-buffer) recortadas y proyectadas Coordenadas del dispositivo 2D  2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA