Probabilidad. Variables aleatorias. Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios. Probabilidad de un sucesos. Probabilidad condicionada. Probabilidad total. Teorema de Bayes. Grafica de la función de probabilidad. Variables aleatorias. Parámetros de una distribución. Distribución binomial. Variables aleatorias continuas. Distribución normal. Aproximación de la distribución binomial mediante la normal

Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios. Existen dos tipos de experimentos: deterministas y aleatorios. Los experimentos deterministas, son aquellos que se puede predecir el resultado, siempre que se realice en las mismas condiciones. Los experimentos aleatorios, son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, aunque se realice en las mismas condiciones. Los posibles resultados de un experimento aleatorio reciben el nombre de sucesos aleatorios y se pueden clasificar en sucesos elementales o compuestos: Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en sucesos mas simples; Suceso compuesto son aquellos que están compuestos por sucesos elementales. El espacio muestral es el conjunto formado por todos los sucesos elementales. El espacio muestral también se denomina suceso seguro, mientras que aquel suceso que no ocurre nuca se denomina suceso imposible ()

Experimentos aleatorios. Sucesos aleatorios. Ejemplo.- La observación de puntuación obtenida en el lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio, cuyos posibles resultado u espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = “ obtener un 3”, es un suceso elemental, mientras que B = “ obtener resultado impar” es un suceso compuesto.

Operaciones con sucesos aleatorios Dados dos sucesos A y B, de un espacio muestral E, decimos: A unión B = A  B es un suceso de E, cuando todos sus sucesos elementales son suceso de A o de B A intersección B = A  B es un suceso de E, cuando todos sus sucesos elementales son de A y de B. Suceso contrario de A = A es un suceso de E, cuando todos sus sucesos elementales no son sucesos de A. Ejemplo.- En el experimento del lanzamiento de un dado, si A = “obtener resultado par” y B = obtener múltiplo de tres”, será

Probabilidad de un suceso En un experimento aleatorio de n sucesos elementales, incompatibles entre sí e igualmente probables (es decir con las mismas posibilidades de ocurrir). Si A es un suceso, se define la probabilidad de A como: Ejemplo.- Si se lanzan dos dados sobre un tablero y se suman los valores de sus caras superiores. Hallar la probabilidad de A = “obtener una suma de puntos igual a 7”. Solución: Como los casos posibles serán (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), se cumplirá

Propiedades de la Probabilidad Si A y B son dos sucesos cualesquiera del espacio muestral E, y p es la probabilidad, se cumplen las siguientes propiedades:

Probabilidad condicionada La probabilidad de un suceso B condicionado al suceso A (B/A), será: Si podemos obtener p(B/A) mediante la regla de Laplace, despejando será: Ejemplo: Si en una clase de 20 chicos y 10 chicas, 17 chicos y 8 chicas estudian inglés, y 3 chicos y 2 chicas francés. Calcular la probabilidad de que un estudiante halla elegido Francés, condicionado a que sea chico. Solución:

Probabilidad condicionada Dos sucesos A y B son independientes si y solo si: Que es equivalente a Ejemplo: Si A1 = “ obtener un 6 al lanzar el primer dado” y A2 = “ obtener un 6 al lanzar el segundo dado”. La probabilidad de obtener dos 6, al lanzar dos dados serán independientes, ya que

Probabilidad total. Si E es un espacio muestral, y A1, A2, A3, … , An son n sucesos de E tal que

Probabilidad total. Ejemplo.- En una urna hay 3 bolas blancas y 2 negras. Dos jugadores extraen una bola cada uno sin remplazamiento, de modo que ninguno de ellos sabe el color del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 2 tenga una bola blanca? Solución.- Denominando B1 y B2 al suceso de obtener bola blanca, el jugador 1 y jugador 2 respectivamente. Obtendremos

Teorema de Bayes. Si E es un espacio muestral, y A1, A2, A3, … , An son n sucesos de E tal que

Teorema de Bayes. Ejemplo.- En una urna hay 3 bolas blancas y 2 negras. Dos jugadores extraen cada uno una bola sin remplazamiento, de modo que ninguno de ellos sabe el color del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 1 obtenga bola blanca, condicionado a que el jugador 2, ha obtenido blanca? Solución.- Denominando B1 y B2 al suceso de obtener bola blanca, el jugador 1 y jugador 2 respectivamente. Obtendremos

Gráfica de la función de probabilidad. Dependiendo de espacio muestral de un experimento aleatorio, y de los sucesos de los cuales queremos hallar su probabilidad, su gráfica serán puntos, curvas, etc. Ejemplo.- Si al lanzar un dado el espacio muestral es E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, y el dado está desequilibrado de forma que: Prob (1) = Prob (3) = Prob (5) Prob (2) = Prob (4) = Prob (6) = 2 . Prob(1) Como debe de cumplir

Gráfica de la función de probabilidad. Su gráfica será.

Variables aleatorias. Dado un espacio muestral E, tal que para cada suceso A de E, le podemos asignar una probabilidad p(A). Una VARIABLE ALEATORIA X (v. a. X) es una función X : E  R (números reales) que cumple que si x(A) = B, p(X=B) = p(A) Si los valores del recorrido X es un conjunto discreto (finito o infinito numerable) decimos que X es una variable aleatoria discreta, mientras que si puede tomar cualquier valor de un intervalo decimos que es una variable aleatoria continua Ejemplo.- En el experimento de lanzar tres veces una moneda (supuestamente equilibrada), podemos asignar la v. a. X = ‘número de caras obtenidas’, que si p es la probabilidad cumplirá:

Parámetros de una distribución. Los parámetros de una distribución son valores numéricos que caracterizan la distribución de probabilidad. Estos parámetros suelen aportarnos datos de centralización o de dispersión de datos. La Media (valor esperado o esperanza matemática), la Varianza y la desviación típica de una variable aleatoria discreta de n valores xi (i = 1, 2, … , n) y de función de probabilidad p, es

Parámetros de una distribución. Ejemplo.- Juan le propone a Pedro el siguiente juego: “lanzamos un dado. Si sale un múltiplo de 3 yo te doy 6 euros y, en caso contrario, tú me das 4 euros”. ¿Debe de aceptar el Pedro?. ¿En que condiciones debería aceptarlo?. Calcula la media y la desviación típica. Solución: Si denominamos la variable aleatoria xi = “los euros que gana Pedro al lanzar el dado”, podemos construir la siguiente tabla y calcular la media y desviación típica No debe de aceptar Pedro, dicho juego, pues la ganancia media es negativa. Sin embargo, si Juan le diera 8 euros cada vez que saliera un múltiplo de 3, si seria un juego equitativo, ya que en este caso E[xi] = (-4) . (2/3) + 8 . (1/3) = 0 Suceso xi p(xi) xi . p(xi) xi2 xi2 . p(xi) No múltiplo de 3 (1, 2, 4, 5) 4 2/3 - 8/3 16 32/3 Múltiplo de 3 (3, 6) 6 1/3 6/3 36 36/3 suma 1 - 2/3 52 68/3

Distribución binomial y normal. En las siguientes diapositivas, podemos ver en la página Web de Jesús Plaza Martínez, dos ejemplos de distribución discreta (distribución binomial) y distribución continua (distribución normal)

Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/descartes/web/) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia (http://recursostic.educacion.es/gauss/web) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina (http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm) En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) (http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/) En la siguiente diapósitiva