Inversa de una matriz

Objetivos: Definir la inversa de una matriz. Efectuar operaciones elementales con las filas de una matriz. Obtener la matriz de Cofactores de cualquier matriz cuadrada. Obtener la matriz Adjunta de cualquier matriz cuadrada. Calcular la inversa de una matriz, a través de dos procedimientos: Gauss – Jordan y Matriz Adjunta. Definir y obtener el rango de una matriz de cualquier orden.

Introducción Si AX=B es un SEL dado en forma matricial, el procedimiento de dividir por la matriz A no es posible realizarlo debido a que la división de matrices no esta definida. Sin embargo, estamos interesados en hacer algo parecido a lo que hacemos en las ecuaciones de primer grado.

Matriz inversa Sea A una matriz cuadrada. Si existe una matriz B tal que AB=BA=I , la llamaremos matriz inversa de A y la denotaremos por A-1. Obs: Si A-1 existe, se tiene que: AA-1=A-1A=I. Si A y B son matrices invertibles y k un número no nulo se tienen las propiedades:

Operaciones elementales con las filas de una matriz El intercambio de la fila i y la fila j, que denotaremos como: fi ↔ fj El producto de todos los elementos de la fila i por una constante c ≠ 0: cfi 3. Sumar a los elementos de la fila i los correspondientes de la fila j multiplicados por una constante c ≠ 0: fi + cfj

Matrices Equivalentes Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con A B, si B se obtiene a partir de A mediante un número finito de operaciones elementales por filas. Por ejemplo, a partir de la matriz A: Se puede obtener la matriz equivalente B con las siguientes operaciones: f2 – 2f1 y f3 – f1

Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan Utilizando las operaciones elementales con las filas de una matriz, también se puede obtener la inversa de la matriz Anxn, siguiendo el procedimiento descrito a continuación: 1.- Formamos la matriz [A : In]: Ejemplo 2.- Luego, mediante las operaciones elementales se reduce la matriz a otra de la forma [In : B]: B = A-1

Cálculo de la inversa de una matriz: método de Gauss-Jordan Ejemplo: Determinar A-1 si A es invertible.

Existencia de la inversa Teorema: Sea A una matriz inversible entonces: Corolario: La inversa de una matriz existe si y sólo si det(A) = 0. Ejemplo: ¿ Para que valor de a la matriz: tiene inversa ?

Matriz Adjunta Recordando conceptos: Se llama menor del elemento aij de la matriz A a la matriz Mij de orden n-1 que resulta de suprimir en A la fila i y la columna j. El cofactor Aij del elemento aij es el número real: Aij = (-1)i+j det(Mij ) Matriz de los cofactores: Es la matriz cuadrada formada por todos los cofactores de una matriz.

Matriz Adjunta Sea la matriz AC de cofactores: La Matriz Adjunta de A, denotada por Adj(A) es la transpuesta de la matriz de los cofactores.

Matriz Adjunta Ejemplo: Obtenga la matriz adjunta de A Solución

Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta Observe lo siguiente: 1.- Obtenga el determinante de la matriz: 2.- Multiplique la matriz A por Adj(A) ¿Qué puede concluir en este caso?

Cálculo de la inversa de una matriz: método de la Matriz Adjunta Si |A| ≠ 0, entonces A es invertible y se cumple: Con este resultado tenemos un segundo método para el cálculo de la inversa de una matriz.