Anualidades de Amortización Bloque I * Tema 041 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Anualidades de amortización Si pedimos un crédito a una entidad financiera, para montar un negocio, comprar un piso, un coche o cualquier otro bien, deberemos devolver lo pedido más los intereses. Para ello suponemos que podemos devolver todos los años un cierto capital , A, llamado anualidad, para pagar la deuda , D, contraída. Al comienzo debemos D Al año debemos D +D.i - A = D.(1+i) - A A los dos años debemos [D.(1+i) - A] + [D.(1+i) - A].i - A = =D.(1+i).(1+i) - A(1+i) – A = =D.(1+i)2 - A(1+i) – A @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS … ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN A los tres años debemos [D.(1+ i)2 - A(1+i) – A] + [D.(1+i)2 - A(1+i) – A].i - A = = D.(1+i)2. (1+i) - A(1+i).(1+i) - A(1+i) - A = = D.(1+i)3 - A(1+i)2 - A(1+i) - A Al cabo de “t” años habremos devuelto todo el capital prestado más los intereses producidos. Es decir, ya no deberemos nada; luego: t t-1 t-2 D.(1+i) - A(1+i) - A(1+i) - ....... - A = 0 t t-1 t-2 D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A En la ecuación anterior la parte de derecha es la suma de los términos de una progresión geométrica de razón (1+r) y cuyo primer término vale A an.r - a1 En una p.g. la suma de todos los términos vale S = ---------------- r - 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS … ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN Teníamos: t t-1 t-2 D.(1+i) = A(1+i) + A(1+i) + ....... + A(1+i) + A t t t A.(1+i) - A A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- = ---------------------- (1+i) - 1 i Que es la fórmula a emplear en las anualidades de amortización, como por ejemplo al pedir un crédito hipotecario, donde todos los años aportamos una cantidad fija (aunque normalmente esté dividida en letras o pagarés mensuales), A. O sea que si el pago es anual, i = r/100 Si el pago es mensual, i = r/1200 , t = número de meses y A es la mensualidad que debemos pagar. Evidentemente cuando el rédito es variable hay que recalcular todo. Importante: Para hallar la mensualidad a pagar, no vale dividir la anualidad entre 12. Hay que trabajar con i = r / 1200. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO_1_ DE ANUALIDAD Pedimos un préstamo hipotecario de 200.000 €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la anualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años. t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 20 y i = 6/100 i 20 20 A [ (1+ 0,06) - 1 ] 200000.(1+ 0,06) = ---------------------------- 0,06 200000. 3,2071 = A [3,2071 – 1 ] / 0,06 641427 = A.36,5856  A = 641427 / 36,5856 = 17.436,91 € En total hemos pagado, por el préstamo de 200.000 €: 17436,91x20 = 348.738 € Nota: Habríamos pagado menos empleando mensualidades. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO_2_ DE ANUALIDAD CON PAGO MENSUAL Pedimos un préstamo hipotecario de 200.000 €, que nos ponen a un 6% fijo anual. Hallar la mensualidad a pagar para poder amortizar el préstamo en 20 años (240 meses). t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=200000, t = 240 y i = 6/1200 i 240 240 A [ (1+ 0,005) - 1 ] 200000.(1+ 0,005) = ---------------------------- 0,005 200000. 3,3102 = A [3,3102 – 1 ] / 0,005 662040,89 = A . 462,0409  A = 662040,89 / 462,0409 = 1431,72 € En total hemos pagado, por el préstamo de 200.000 €: 1431,72 x 12 x 20 = 343 613 € Nota: Habríamos unos 5.000 € menos que por anualidades. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD Necesitamos urgentemente un préstamo personal de 30.000 €, que nos ofrecen al 24% fijo anual. Si podemos devolver 1000 € al mes, ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. t t A [ (1+i) - 1 ] D.(1+i) = -------------------- , donde D=30000, A= 1000 y i = 24/1200 i t 1000 [ (1+ 0,02) - 1 ] 30000.(1+ 0,02) = ---------------------------------- 0,02 30000. 1,02t . 0,02 = 1000 [1,02t – 1 ] 600. 1,02t -------------- = 1,02t – 1 1000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS … EJEMPLO_3_DE ANUALIDAD 0,6. 1,02t = 1,02t – 1 1 = 1,02t - 0,6.1,02t 1 = 0,4 . 1,02t 1 ----- = 1,02t  2,5 = 1,02t 0,4 Tomando logaritmos decimales: log 2,5 = t . log 1,02 t = log 2,5 / log 1,02 = 46,27 meses. Habremos pagado 46.271 € por un préstamo de 30.000 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJERCICIOS PROPUESTOS (Las entidades financieras suelen ofrecer ofertas cerradas para los préstamos en cuanto al tiempo ( en 5 años, en 10 años, en 15 años, en 50 años). Sabiendo lo que podemos pagar al mes por la “letra”, podemos negociar el tiempo. UNO Necesitamos urgentemente un préstamo personal de 30.000 €, que nos ofrecen al 12% fijo anual. Si podemos devolver 1000 € al mes, ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. DOS Necesitamos un préstamo hipotecario de 300.000 €, que nos ofrecen al 6% fijo anual. Si cada letra trimestral es por un importe de 3000 € , ¿cuánto tiempo estaremos pagando hasta amortizar toda la deuda?. ¿Cuánto habremos pagado en total, sin contar gastos ni comisiones varias?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS