NÚMEROS REALES Día 02 * 1º BAD CS

Números IRRACIONALES DEFINICIÓN Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… El número π = 3,1415 … El número e = 2,7182… y el número Phi, Ø = 1,618…

Si √2 fuera un número racional: √2 =p/q, siendo p y q números enteros. El número √2 El primer radical irracional conocido fue √2 . Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Si √2 fuera un número racional: √2 =p/q, siendo p y q números enteros. Elevando al cuadrado: 2 = p2 / q2 O sea: 2.q2 = p2 p2 tiene que ser un número par, ya que es un múltiplo de 2. Eso obliga a que p sea par: p=2.k Queda: 2.q2 = p2 = 4.k2 Es decir: q2 = 2.k2 Lo que obliga a que q2 sea par, con lo que q debe ser también par. Conclusión: Si √2 fuera racional, p y q deben ser pares. Pero p y q no pueden ser pares, puesto que son números primos entre sí. 1 √2

El número π Ya sabéis que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En el siguiente recuadro tienes una serie de números racionales que converge hacia π El número e Es tan importante o más que el número π. En el siguiente recuadro tenéis dos series de números racionales que converge hacia “e”.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE IRRACIONALES NÚMEROS IRRACIONALES DE LA FORMA √N Sea el número √2 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√1)2 ] = √ [1+1] = √2 1 √2 0 1 √2 2

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3 Sea el número √3 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(1)2 + (√2)2 ] = √ [1+2] = √3 1 √2 √3 √2 0 1 √3 2

Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13 Sea el número √13 Por Pitágoras: Hipotenusa = √ [(2)2 + (√3)2 ] = √ [4+9] = √13 1 √2 √13 3 2 0 1 2 3 √13

Valor absoluto VALOR ABSOLUTO. El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo. Ejemplos: |2| = 2 |-3| = 3 | -3/4| = ¾ |- √2| = √2 |1 - √5| = √5 – 1 , pues √5 es mayor que 1 |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real.

EJEMPLO 1 Desarrolla la expresión: – |x – 5| Calcular su valor para x= - 3, para x = 0 y para x = 7 Para x < 5  – ( – (x – 5 )) = x – 5 Para x > 5  – ( (x – 5)) = 5 – x Para x = - 3  (-3) – 5 = – 3 – 5 = – 8 Para x = 0  0 – 5 = – 5 Para x = 7  5 – 7 = – 2 EJEMPLO 2 Desarrolla la expresión: x – |2 – x| Calcular su valor para x= - 3, para x = 0 y para x = 5 Para x < 2  x – (2 – x) = x – 2 + x = 2.x – 2 Para x > 2  x – (– (2 – x)) = x + 2 – x = 2 Para x = - 3  2.(-3) – 2 = – 6 – 2 = – 8 Para x = 0  2.0 – 2 = 0 – 2 = – 2 Para x = 5  2

Aplicaciones ¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes desigualdades? 1.- |x| = 5 |x| = 5 ↔ x = 5 o x = - 5 2.- |x| > 5 |x| > 5 ↔ x > 5 o x < - 5 3.- |x| < 5 |x| < 5 ↔ x < 5 y x > - 5 - 5 0 5 - 5 0 5 - 5 0 5

¿Para qué valores de x se cumplen las siguientes igualdades/desigualdades? x – 3 = 5  x = 8 x – 3 = - 5  x = - 2 5.- |3 - x | ≥ 5 3 – x ≥ 5  - 2 ≥ x 3 – x ≤ - 5  8 ≤ x - 2 0 8 - 2 0 8

Intervalos sobre la recta real INTERVALOS FINITOS Son unos subconjuntos de la recta real especialmente interesantes y que se emplean mucho. Abierto (a, b) Ejemplo: (-2, 3)  Todos los números entre -2 y 3 Cerrado [a, b] Ejemplo: [-5, -2]  Todos los números entre -5 y -2, incluidos ambos. Semiabierto por la izquierda (a, b] Ejemplo: (- 5, 2]  Todos los números entre -5 y 2, incluido el 2. Semiabierto por la derecha [a, b) Ejemplo: [- 3, 2)  Todos los números entre -3 y 2, incluido el - 3.

NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN { x / a < x < b } R a b { x / a ≤ x ≤ b } R a b { x / a < x ≤ b } R a b { x / a ≤ x < b } R a b

(a, + ∞) [a, + ∞) (- ∞, b) (- ∞, b] INTERVALOS INFINITOS o SEMIRRECTAS Estos intervalos dan lugar a semirrectas. (a, + ∞) Ejemplo: (2, + ∞)  Todos los números mayores que 2 [a, + ∞) Ejemplo: [2, + ∞)  Todos los números mayores que 2, incluido el 2. (- ∞, b) Ejemplo: (- ∞, 2)  Todos los números menores que 2 (- ∞, b] Ejemplo: (- ∞, 2]  Todos los números menores que 2, incluido el 2.

NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN { x / a < x } R a { x / a ≤ x } R a { x / x ≤ b } R b { x / x < b } R b

APROXIMACIONES Sea el número √3 = 1,73205 1.- Aproximaciones por defecto: 1 1,7 1,73 1,732 1,7320 2.- Aproximaciones por exceso: 2 1,8 1,74 1,733 1,7321 3.- Aproximaciones por redondeo: 2 1,7 1,73 1,732 1,7321 Se elige la aproximación por defecto si la primera cifra suprimida es menor que 5, y la aproximación por exceso si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5 Y el resultado son números aproximados. Hay que fijarse bien en las llamadas cifras significativas: El número 12,475 tiene cinco cifras significativas. El número 1,0490 tiene cuatro cifras significativas. El número 0,0034 tiene dos cifras significativas.

ERROR ABSOLUTO Se llama error absoluto a la diferencia entre el valor exacto y el aproximado de un número. E = |Vr – Va| Si el lugar de expresiones decimales trabajamos con fracciones no cometeremos ningún error. Ejemplo: En lugar de 2 / 3 trabajamos con 0,66 E = |2/3 – 0,66| E = |2/3 – 66/100| E = |(200 – 198)/300| E = |2/300| = 2 / 300 = 1 / 150 = 0,0066666 El error absoluto es, en este caso, menor que una centésima.

ERROR RELATIVO Se llama error relativo de una aproximación al cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud. Con este tipo de error medimos en cuánto nos equivocamos por cada unidad de lo que estamos contando, midiendo o calculando. Se suele expresar en porcentajes. No es lo mismo equivocarse en una diferencia de 3 al contar los alumnos de una clase que al contar las personas de una ciudad. Ejemplo 1 Al contar los 30 alumnos de una clase nos salen 27 e = E / Vr = (30-27)/30 = 3 / 30 = 0,1 = 10% Ejemplo 2 Al contar los 3000 habitantes de nuestro pueblo nos salen 2997 e = E / Vr = (3000-2997)/3000 = 3 / 3000 = 0,001 = 0,10%