UNA INTRODUCCIÓN ALGEBRAICA AL CONCEPTO DE DERIVADA. UNIVERSIDAD DE PANAMÁ FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO de MATEMÁTICA COLOQUIO 91   UNA INTRODUCCIÓN ALGEBRAICA AL CONCEPTO DE DERIVADA. Mgtr Egberto Agard

Al inicio de la enseñanza en el nivel universitario, el Cálculo diferencial e integral es una de las primeras asignaturas en el Plan de Estudio de gran cantidad de carreras debido a la diversidad de sus utilizaciones. El Cálculo es indispensable en otras ramas de las ciencias tales como: Física, Biología, Economía, Sociología etc., porque proporciona los conocimientos fundamentales que permiten estudiar los fenómenos y proponer modelos. Es lamentable los fracasos de los estudiantes en este primer curso de Cálculo diferencial e integral.

Desde un punto de vista histórico JUDITH V Desde un punto de vista histórico JUDITH V. GRABINER, especialista en Historia de la Matemática, señala en su artículo que las etapas de desarrollo de la derivada tal como se encuentra hoy son las siguientes: La derivada fue utilizada. La derivada fue descubierta. La derivada fue desarrollada. La derivada fue definida. La etapa de utilización de la derivada nos envía al Método de Fermat para la determinación de máximos y mínimos". La etapa de descubrimiento es ilustrada por las contribuciones de LEONHARD EULER (1707-1783) quien en el año 1753 introduce la notación f(x) para la función. (Mémoires de l´Académie des Sciences et des Belles Lettres (Berlin 1753).) JOSEPH LAGRANGE (1736-1813) quien en la página 12 de su Leçons sur le calcul des fonctions introduce una nueva notación para la primera, segunda, tercera etc. derivadas de “fx” con respecto a x.

En 1823, AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1857) definió la derivada de f(x) como el límite, si existe, del coeficiente incremental: A medida que h tiende a cero.

KARL WEIERSTRASS (1815-1897), eminente matemático alemán del siglo XIX, amarró los cabos sueltos que dejó CAUCHY; en primer lugar, al ser nombrado profesor de la Universidad de Berlín, logro construir desigualdades algebraicas que reemplazaron las palabras en los teoremas de análisis y utilizó sus propias distinciones entre convergencia puntual y convergencia uniforme. La proposición consiste en apoyarnos sobre la perspectiva histórico de la derivada y presentar una definición algebraica para evitar el obstáculo representada por el concepto de límite.

Contenidos de un primer Curso de Cálculo Diferencial: El programa tradicional propone: Números reales. Funciones. Límite de una función. Continuidad. Derivada y aplicaciones.   ¿En qué consiste este cambio?  El tema 5, la derivada y sus aplicaciones, se adelanta al punto 3, inmediatamente después del tema 2 que son las funciones. Seguidamente se tienen los temas: límite de funciones y continuidad de una función. La programación analítica finaliza con la formalización de la derivada al mismo nivel que se desarrolla en un curso tradicional.

En conclusión se tiene: Números Reales. Funciones. Derivada y aplicaciones. Límite de una función. Continuidad. Formalización de la deriva

Confección de una tabla. Veamos un ejemplo: Se quiere cerrar con una cerca un sembradío rectangular con 14 metros de alambre. ¿Qué dimensiones del rectángulo se requieren para que la superficie sea la más grande posible?. Confección de una tabla. a b = 7 – a P Area 7 14 1 6 2 5 10 3 4 12 3.5 12.25

Método de Fermat En 1629 Pierre de Fermat descubre un Método para hallar Máximos y Mínimos; este descubrimiento fue publicado en el año 1636 en un artículo titulado: Methodus ad disquirendam maximam et minimam. (“Método para investigar máximos y mínimos” ) Toda la teoría de la investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y las siguientes reglas:

Sea “x” una incógnita cualquiera del problema. Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de la letra “x” en términos que pueden ser de cualquier grado. Sustituirá a continuación la incógnita original “x” por “x+h”, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de “x” y “h”, en términos que pueden ser de cualquier grado. Se “adigualarán”, para hablar como Diofanto, las dos expresiones de la cantidad máxima o mínima.

Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, tras lo cual resultará que a ambos lados habrá términos afectados de “h” o de una de sus potencias. Se dividirán todos los términos ´por “h” o de alguna potencia superior de “h”, de modo que desaparecerá la “h” de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros. Se suprimirán a continuación todos los términos donde todavía aparece la “h” o uno de sus potencias y se iguala lo que queda, o bien si en uno de sus miembros no queda nada se igualarán, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo. La resolución de esta última ecuación dará el valor de “x”, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original.

La función derivada aparece por primera vez en forma implícita en los problemas de máximo y mínimo de Fermat. Estos problemas se modelan con funciones algebraicas. Denotemos con Por el teorema del factor se tiene f(x+h) – f(x) =

Se debe determinar el valor de “x” que haga máximo a f(x). Ejemplo de Fermat Dado un segmento, dividirlo en dos partes de tal forma que el producto de las partes sea máximo. El producto de las dos partes es: Se debe determinar el valor de “x” que haga máximo a f(x). De donde x=b/2 De lo anterior se concluye que para que el producto sea máximo se requiere dividir el segmento en dos partes iguales.

f(x+h) - f(x) = bh - 2xh - h2 =(b-2x)h - h2 (*) Generalizando el Método de Fermat Ejemplo de Fermat. La función que vamos a maximizar es: donde x pertenece al intervalo [0, b] (dominio). 1. Se calcula la diferencia f(x+h) - f(x) y se desarrolla en potencias del incremento de h. f(x+h) - f(x) = bh - 2xh - h2 =(b-2x)h - h2 (*) Debe cumplirse que (x+h) [0, b] ; es decir 0  x + h  b , De donde los valores permisibles de h deben satisfacer las desigualdades -x  h (b-x)

f(0 + h)-f(0) = bh - h2= (b – h)h con 0  h  b 2. Vamos a verificar el carácter de los puntos extremos del dominio, x= 0 y x = b. Sustituyendo x= 0 en (*) obtenemos: f(0 + h)-f(0) = bh - h2= (b – h)h con 0  h  b De los valores permisibles de h tenemos que: h 0 y (b – h )  0 lo que hace que el signo de la diferencia sea siempre mayor o igual que cero quitando los extremos mismos. Esto significa que la diferencia no cambia de signo y se trata de un mínimo. Procediendo de manera análoga en también se ve que ahí alcanza un valor mínimo. En conclusión, la función alcanza un mínimo en x= 0 y x = b. Como buscamos un máximo, continuamos examinando el signo de la diferencia para los puntos interiores 0 < x < b.

3. Al examinar el signo de la diferencia f(x+h) - f(x) = bh - 2xh - h2 =(b-2x)h - h2 cuando x es un punto interior del dominio (0 < x < b) para valores permisibles de h, como se determino antes. Como 0 < x < b se tiene que -x < 0 y b - x > 0, por lo que h admite valores permisibles tanto positivos como negativos. ¿Qué necesitamos para que el signo de la diferencia dada en (*) no cambie? 4. Sustituyendo x = b/2 en (*) se analiza el signo: Se concluye que la función alcanza un máximo absoluto en x = b/2.

Referencias Andreu,M.E. & Riestra, J.A.(2007). Et si nous en restions á Euler et Lagrange ? En Annales de Didactique et Sciences Cognitives, Irem de Strasbourg,12, pp 165-187.   Boyer, C.B.(1959), The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover Publications Inc. New York. Fermat, P.(1660). De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica, Tolosae : apud Arnaldum Colomerium. Consulta en línea http://gallica.bnf.fr/ Grabiner, J. V. (1983). The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to Weierstrass. En Mathematics Magazine 56(4), pp 195-206. Mahoney,M.S.(1973).The Mathematical Career of Pierre de Fermat: 1601-1665 Princeton University Press, Princeton. New Jersey.