Digital Image Processing Chapter 4 Dr. Mario Chacón DSP & Vision Lab

Normal transformation . Input image Output image f[.] Figura 4. 1 Solo uno o algunos pixeles contribuye al valor de cada pixel de salida.

Frequency transformation . Input image Output image f[.]     Figura 4. 2 Cada pixel contribuye al valor de cada pixel de salida

Figura 4. 3 Ilustración de generación de bases discretas. Discrete bases Figura 4. 3 Ilustración de generación de bases discretas.

Vector transformation       Figura 4. 4 Ejemplo de transformación con y sin bases ortogonales.

Orthogonal Functions Sean y dos funciones valuadas reales definidas en un intervalo tal que la integral en ese intervalo existe   (4.1)       entonces y son ortogonales en el intervalo si (4.2) De igual manera el conjunto de funciones de valor real , , es un conjunto ortogonal en el intervalo si   (4.3)

Figura 4. 5 Ortogonalidad de vectores Orthogonal Functions Lo que indica ortogonalidad es que las funciones y no poseen componentes comunes. Esto se puede explicar mejor por medio de vectores. En la Figura 4.5a la componente de V1 sobre V2 es, en cambio en la Figura 4.5b no existe ninguna proyección de V1 sobre V2 ya que V1 es ortogonal a V2 .         V1 V2 Ve V2W2 C12V2   a) b) Figura 4. 5 Ortogonalidad de vectores

Orthoganlity El proceso de transformar los datos de una imagen a otro dominio o espacio matemático, equivale a proyectar la imagen sobre las imágenes base, análogo al caso de una función de una dimensión la cual se proyecta sobre las bases de una dimensión. El término matemático de este proceso de proyección es el producto escalar.       La forma de una ecuación de transformación a la frecuencia asumiendo una imagen de N x N es:   (4.4) Donde y son variables del dominio de la frecuencia, son coeficientes de la transformada, son las imágenes base.

Vector bases 1   0 1 y  x 0 1 1  0 1 2  0 1  

I(x,y) projection on B(0,0) a b c d e f g h 1   2 1   Figura 4. 6 Proyección de sobre .

I(x,y) projection on B(0,0) Para encontrar se proyecta sobre los vectores base de por ejemplo, es la proyección de sobre que es igual al producto escalar de   = (4.5)   Esta transformación equivale a descomponer la imagen en una suma ponderada de imágenes base, donde los coeficientes son los pesos.

I(x,y) projection on B(0,0) transformada inversa:   donde es la transformada inversa y son las imágenes base inversas. En muchos casos las imágenes base inversas son las mismas que pero posiblemente ponderadas por una constante.

Fourier Transform Continuous Sea una función continua de la variable real t, entonces la transformada de Fourier se define como   (4.6) donde, , y es la frecuencia en radianes/segundo. La transformada de Fourier inversa es   (4.7)

Fourier Transform Continuous Las condiciones de existencia de la transformada de Fourier se conocen como las condiciones de Dirichtlet. Aquí solo comentaremos una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de la transformada, la cual es   (4.8) Esta condición se deriva del hecho de que la magnitud de es 1. Por lo que esta condición es suficiente pero no una condición necesaria para la existencia de . Así que funciones que no satisfacen la ecuación anterior pueden tener

Fourier Transform Continuous La es generalmente compleja   (4.9) donde: (4.10) y (4.11) se denomina espectro de Fourier y muestra la magnitud de las componentes de frecuencia presentes en .

Fourier Transform Continuous La función de densidad espectral o espectro de potencia o de energía dependiendo si es una señal de potencia o de energía se define como   (4.12)   (4.13)

Fourier Transform Continuous x A t f(t)

Fourier Transform Continuous  -4/x -3/x -2/x -1/x 0 1/x 2/x 3/x 4/x  Figura 4. 7 Espectro de un pulso rectangular.

Fourier Transform 2D Continuous   (4.15) y (4.16) El espectro de Fourier será:     (4.17)   con función de fase   (4.18)  y la función de densidad espectral de potencia es (4.19)

Fourier Transform 2D Continuous

Fourier Transform Discrete Time   (4.20)   (4.23) y (4.24)

Fourier Transform Discrete Time Las ecuaciones (4.23) y (4.24) definen la transformada discreta de Fourier que corresponde a un muestreo de la transformada de Fourier de señales discretas definidas por el par de transformadas   (4.25) (4.26)

Fourier Transform 2D Discrete Time  (4.27)   (4.28)

Fourier Transform 2D Discrete Time (4.30)   (4.31)

Fourier Transform 2D Discrete Time (4.32)   (4.33) (4.34) Para dos dimensiones (4.35) (4.36) (4.37)

Fourier Transform 2D Discrete Time A diferencia del caso continuo, la existencia de la transformada discreta de Fourier no es de interés, ya que y siempre existen, por ejemplo. Para el caso la a serie puede no converger. Pero en el caso que analizamos como la secuencia es finita y es finita, dado que es una imagen, entonces siempre existe.

Fourier Transform 2D Discrete Time En el caso 1-D lo anterior se puede mostrar por sustitución directa.   (4.38) (4.39) ya que    (4.40)   por ser funciones ortogonales, lo que genera que la sumatoria que define a sólo tenga un elemento distinto de cero

Fourier Transform 2D Discrete Time (4.41) entonces   (4.42)   (4.43)   Substituyendo la ecuación anterior (4.44) en (4.45) también produce una identidad de , indicando que el par de transformadas de Fourier dadas por esas ecuaciones siempre existen.

Fourier Transform Discrete Time   La transformada discreta de Fourier de es   Para encontrar los valores de cabe recordar que es un vector de magnitud con un ángulo .  

Fourier Transform Discrete Time

Fourier Transform Discrete Time   El espectro de Fourier es:   (4.46)

Fourier Transform Properties

Separability property

Separability property

Separability property k2 Row transformation Columns transformation x y k1 k2

Translation

Translation

Translation   Figura 4. 9 Aplicación de la propiedad de la traslación. a) Original, b) Espectro sin ajuste, c) Espectro con ajuste.

Translation Otro aspecto importante de esta propiedad es que el corrimiento en no afecta la magnitud de su transformada de Fourier.   (4.57)  

Periodicity and Conjugate symmetry Real valued functions, conjugate symmetry

Spatial frequency Figura 4. 11 a) Frecuencia cero, b) Frecuencia baja, c) Frecuencia media d) Frecuencia alta.

Figura 4. 12 a) Imagen original, b) Imagen en la frecuencia. Spatial frequency Figura 4. 12 a) Imagen original, b) Imagen en la frecuencia.

Convolution

Figura 4. 13 Convolución en forma gráfica. Convolution 2 1/4 1 x 3 Figura 4. 13 Convolución en forma gráfica.

Convolution Analíticamente la convolución entre y es   ya que no existe ningún traslape entre las dos funciones para estos valores de . Para el intervalo la convolución es En el intervalo   y por último para

Convolution (4.64)   (4.65) dado que: (4.66)

Figura 4. 14 Convolución con un tren de impulsos. Convolution A a 1 T -T Figura 4. 14 Convolución con un tren de impulsos.

Convolution (4.67)   (4.68) (4.69)

Convolution   (4.70) (4.71)

Correlation

Correlation Su forma discreta es (4.75) o (4.76)

Autocorrelation

Autocorrelation properties

Correlation 2D Figura 4. 16 a) Imagen original, b) Objeto a buscar, c) Resultado de correlación.

Normalized Correlation 2D

Normalized Correlation 2D

Sampling Frequency domain point of view Analicemos el caso del muestreo de una señal de duración fintita en el tiempo de banda limitada, es decir su espectro cumple con mediante un tren infinito de impulsos, , separados por un tiempo . Donde

Sampling Frequency domain point of view Sabemos que la convolución de una función con el impulso genera la misma función. Por lo tanto ahora la convolución de con el tren de impulsos generará una repetición del espectro . La Figura 4.17 muestra este proceso. De la Figura 4.17 se puede observar que si la separación entre las muestras no es adecuada provocará un traslape entre los espectros ocasionando una deformación de la representación de en la frecuencia por lo cual no podrá ser recuperada a partir de sus muestras. Para que pueda ser recuperada de sus muestras y no exista traslape en los espectros se debe cumplir que

Incorrect Sampling f(t) t . . . f(t)g(t) g(t) Period 1/ overlap  -w   f(t) t . . . f(t)g(t) g(t)  -1/ -1/2 1/2x 1/ Period 1/ overlap  -w F()*G() 0w -0 0 G() F() Figura 4. 17 a) Señal continua, b) su espectro c) tren de impulsos, d) espectro del tren de impulsos, e) señal muestread, e) espectro de señal muestreada.

Correct Sampling . . . t f(t)g(t) PB() -0 0 PB()[F()G()]=F()  Figura 4. 17 a) Señal continua, b) su espectro c) tren de impulsos, d) espectro del tren de impulsos, e) señal muestread, e) espectro de señal muestreada.

FT of Time limited Signals  t g(t) N 1  G() -1/N 1/N

FT of Time limited Signals (4.90) Por tal motivo el espectro de la señal discreta obtenida de ya no será una repetición de sino será la repetición modificada de . Para disminuir el efecto de distorsión de hay que incrementar el valor de ya que se convertirá en un tren de impulsos en la medida en que , y en consecuencia no se deformará.

2D Functions 2D impulse

Figura 4. 20 Función de muestreo impulso 2-D. 2D Functions 2D sampling function   y x y x g(x,y) Figura 4. 20 Función de muestreo impulso 2-D.

2D Functions  

2D Systems  

Frequency response  

Frequency response  

Frequency response example  

Frequency response example Se puede observar de la Figura 4.21, que la respuesta del filtro no es simétrica sobre el origen. Un sistema que tiene simetría circular sobre el origen tiene la misma respuesta a lo largo de todas las direcciones radiales y se dice que tiene una respuesta circularmente simétrica. En general, los sistemas que pueden expresarse como suma, producto o división de funciones de una variable no tienen simetría circular, y cuando se utilizan en imágenes no dan igual tratamiento a las imágenes en todas las direcciones.  

Frequency response example   Figura 4. 21 Respuesta no simétrica del filtro .

Frequency response example Respuesta a la frecuencia de un filtro de promediado  

Frequency response example  

Impulse response from the frequency response  

Impulse response from the frequency response 2 1 -a -  b -b a

Impulse response from the frequency response