VECTORES EN EL PLANO

Magnitudes escalares y vectoriales ¿Cuánto vale una camisa? ¿Qué grosor tiene un cristal? ¿Cuál es la altura de un niño? ¿Qué capacidad tiene una jarra? Todas estas preguntas tienen por respuesta un número y una unidad de medida. Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que exprese su intensidad, necesitamos su dirección y su sentido. Estamos ante dos tipos de magnitudes: Las magnitudes escalares, para cuya determinación se necesita un número que exprese su medida. Las magnitudes vectoriales, como la velocidad de un móvil, el viento, la fuerza, la gravedad,…, que necesitan determinar su intensidad, dirección y sentido.

VECTORES EN EL PLANO VECTOR FIJO VECTORES EQUIPOLENTES COMPONENTES DE UN VECTOR VECTOR LIBRE SUMA DE VECTORES LIBRES PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Vectores en el plano A B π Llamaremos vector fijo de origen A y extremo B, al segmento orientado que va de A a B. Lo indicaremos con A π B Llamaremos módulo del vector a la longitud del segmento AB. Su dirección será la de la recta determinada por los puntos A y B. Su sentido es el que va de A a B. Diremos que dos vectores son equipolentes (equivalentes) si tienen el mismo módulo dirección y sentido

Componentes de un vector Llamamos COMPONENTES de un vector al par de números reales Dado el vector fijo , hallamos sus componentes restando las coordenadas del extremo menos las del origen B =(b1,b2) . v2 =(b2 – a2) A =(a1,a2) . v1 =(b1 - a1) A =(-2,2) Si A =(-2,2) y B =(3,-1), las componentes del vector serán: B =(3,-1)

Módulo de un vector Dado el vector con origen en A(a1,a2) y extremo en B (b1,b2), su módulo es la longitud del segmento AB (o del BA): B b2 b1 b1- a1 b2- a2 Basta aplicar el Teorema de Pitágoras: Y en general para cualquier vector A a1 a2 Por ejemplo, el módulo siendo A(-3,8) y B(3,5):

Vectores libres Fijado un vector AB y un punto C, existe un vector equipolente a AB con origen en C Si dos vectores fijos son equipolentes, al unir sus orígenes y sus extremos se forma un paralelogramo B A B A C C D Se lee: “El vector AB es equipolente al CD D Llamaremos vector libre al conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado Se lee: “ el vector libre u está formado por todos los vectores equipolentes a AB

Vectores libres del plano El vector libre u es el conjunto de vectores equipolentes (equivalentes) a uno dado. Análogamente v, w,… Todos los vectores equipolentes a uno dado tienen las mismas componentes. NOTA: Indicaremos los vectores en negrita o con una flecha sobre la letra(s) correspondientes

Vector de posición de un punto De todos los vectores equipolentes a uno dado (representantes del mismo vector libre) el más fácil de representar es aquel que tiene origen en el origen de coordenadas, punto O(0,0) Ejemplos Las componentes del vector coinciden con las coordenadas del punto que es su extremo.

Suma de vectores libres GEOGEBRA La suma de dos vectores libres es otro vector. Decimos que la suma de vectores libres es una operación interna: Para sumar dos vectores: - Fijado un punto O del plano, construimos un vector OA que sea representante de u ; después AB equivalente al vector v . El vector OB se llama vector suma Podemos emplear también la ley del paralelogramo: - Fijado O, construimos un vector OA representante de u y OC de v. Siendo éstos dos lados consecutivos de un paralelogramo, lo completamos y el vector OB será el vector suma O A O A B C B

Propiedades de la suma de vectores GEOGEBRA La suma de vectores tiene las siguientes propiedades La suma de dos vectores libres es operación interna: Es asociativa: Existe elemento neutro: Es el vector nulo. Su representación es cualquier punto del plano Existe elemento opuesto: El vector opuesto de u tiene la misma dirección y módulo que u pero sentido contrario Es conmutativa:

Propiedades conmutativa y asociativa de la suma Propiedad asociativa: Propiedad conmutativa:

Suma y resta de vectores Podemos emplear también la ley del paralelogramo: El vector OB (diagonal del paralelogramo) es el vector suma u+v, y El vector CA (la otra diagonal) es el vector resta u – v (vector que va del extremo de v al extremo de u, en este orden) NOTA: El vector v-u es el opuesto u-v (vector que va del extremo de u al extremo de v, en este orden) La diferencia entre los vectores u y v es igual a la suma de u con el opuesto de v C A O O B A

Suma de vectores en función de sus componentes Sean Si los vectores son: Para sumarlos gráficamente construimos el paralelogramo O simplemente encadenamos los vectores

Resta de vectores en función de sus componentes Sean La resta es la suma del opuesto: Como Si los vectores son:

Producto de un vector por un escalar El producto de un vector por un escalar es otro vector. El producto de un vector u por un escalar λ es otro vector que tiene la misma dirección que u, igual sentido u opuesto según sea λ positivo o negativo, y cuyo módulo es el producto del módulo de u por el valor absoluto de λ Opuesto de u

Producto de un vector por un escalar Sea Para multiplicar un vector por un número real, se multiplica el número real por cada componente del vector Ejemplo VECTOR OPUESTO Si Si

Combinación lineal de vectores Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos. Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v Dados dos vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v

Combinación lineal de vectores Sean los vectores Definimos un tercer vector w como combinación lineal de u y v: Ejemplo:

Combinación lineal de vectores Otro ejemplo: Con los mismos vectores Pero con distintos coeficientes

Hoja de problemas con soluciones: http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf Teoría y ejercicios: http://personales.unican.es/gonzaleof/# Maneja vectores: http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm

Propiedades de la dependencia lineal. Base del plano - Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección. - Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre. - En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S Este sistema S libre se llama BASE del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones lineales son las componentes de los vectores: w = ( λ, μ )

Bases del plano Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano. Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base. BASE BASE ORTOGONAL: Los vectores de la base son perpendiculares BASE ORTONORMAL: Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1

Bases del plano Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la base BASE ORTOGONAL: BASE BASE ORTONORMAL: Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base

Vectores linealmente dependientes Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales. Sean v=(v1 ,v2) y w=( w1 , w2) dos vectores en el plano Si son linealmente independientes

EL PLANO AFÍN TRES PUNTOS ALINEADOS PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO

Condición para que tres puntos estén alineados Tres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2) están alineados si: P Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales. R P P Q

Punto medio de un segmento Q Si M(x,y) es el punto medio de dos P(p1,p2) y Q(q1,q2): M Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales M(x,y) es el punto medio de P(p1,p2) y Q(q1,q2):

Simétrico de un punto respecto a otro Q Para hallar el simétrico P’(x,y) de un punto P(p1,p2) respecto a Q(q1,q2): O bien: Q es el punto medio de PP’:

Ecuaciones de la recta ECUACIÓN VECTORIAL ECUACIONES PARAMÉTRICAS ECUACIÓN CONTÍNUA ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O CARTESIANA ECUACIÓN EXPLÍCITA CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS

Ecuaciones de la recta(1) Para determinar una recta r necesitamos: r A v Un punto de la recta y una dirección r A B Dos puntos de la recta

Ecuación vectorial de la recta Sea A el punto de coordenadas A(a1,a2) y v un vector de componentes (v1,v2) X(x,y) A(a1,a2) Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector direccional de la recta) O Sea X(x,y) un punto genérico de la recta ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta

Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2) Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: Despejando el parámetro e igualando: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Si llamamos: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,-1) Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: Despejando el parámetro e igualando: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es v=(v1,v2) Ecuación vectorial : Ecuaciones paramétricas : Ecuación contínua : Ecuación general, cartesiana o implícita : Como

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) Su vector direccional puede ser r P(x,y) B(b1,b2) Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r: A(a1,a2) P(x,y) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS B(b1,b2) A(a1,a2)

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS Sean vr y vs los vectores direccionales de dos rectas r y s paralelas. r Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores direccionales: vr s vs (Sus componentes serán proporcionales)

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS vr vs Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas: Serán paralelas si: ECUACIÓN vectorial paramé- tricas contínua general Coincidirán si se cumple:

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES DEFINICIÓN PROPIEDADES MÓDULO DE UN VECTOR ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS PENDIENTE DE UNA RECTA ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. HAZ DE RECTAS

Producto escalar de dos vectores(1) Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta: Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR (El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0 1. 2. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0) 3. Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares 4. Propiedad conmutativa 5. R Propiedad “asociativa” 6. Propiedad distributiva

Propiedades del producto escalar (2) El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar de dicho vector consigo mismo. 7. (Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios) 8. Si una base es ortonormal B = { u1,u2} 9. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él

Expresión analítica del producto escalar (Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios) B = { u1,u2} Sea una base ortonormal y sean dos vectores Como la base es ortonormal Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal

Expresión analítica del producto escalar (Los vectores de la base son perpendiculares) B = { u1,u2} Sea una base ortogonal y sean dos vectores Como la base es ortogonal Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortogonal

Expresión analítica del producto escalar Sea una base cualquiera y sean dos vectores B = { u1,u2} Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector en una base cualquiera

Coseno del ángulo de dos vectores Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal. En una base ortonormal o canónica : Si dos vectores son perpendiculares : Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0 A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales

Ángulo que forman dos rectas. vr vs Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales Valor absoluto de un número real Módulo de un vector Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman) Posición relativa de dos rectas. Secantes Paralelas no coincidentes Coincidentes Dos rectas en el plano pueden ser:

Ecuación explícita de una recta. Pendiente de una recta Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y: Si llamamos: r La ecuación explícita de la recta será: m 1 n m nos indica la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n) A -B α

Ecuación punto-pendiente Ecuación punto-pendiente. Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares. Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella: Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente: y = m x + n Falta determinar n ( m ya lo conocemos) y0 = m x0 + n La recta debe pasar por P(x0,y0) y - y0 = m (x - x0 ) Restando ambas expresiones: P1(x1,y1) P2(x2,y2) x2-x1 = v1 y2-y1 = v2 Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos:

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas Dada la ecuación de una recta r: y=mx+n mx-y+n=0 Vector direccional Serán paralelas si: Serán perpendiculares si: ECUACIÓN r y=mx+n s y=m’x+n’ Ax+By+C=0 A’x+B’y+C’=0 Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares

DISTANCIAS EN EL PLANO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS HAZ DE RECTAS

Distancia entre dos puntos B b2 b1 b1- a1 b2- a2 La distancia entre dos puntos A(a1,a2) y B (b1,b2) es el módulo del vector AB (o del BA): Basta aplicar el Teorema de Pitágoras: A a1 a2 Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):

Distancia de un punto a una recta (1) Recordemos que: El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero Un vector perpendicular al vector (Su producto escalar es cero) puede ser el vector Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es Si un punto A(m,n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación. Es decir: am+bn+c=0 La distancia es siempre una cantidad positiva. El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto

Distancia de un punto a una recta (2) Vamos a hallar la distancia del punto P(x0,y0) a la recta r de ecuación ax+by+c=0. d(P,r)=d(P,Q)= La distancia de un punto P a una recta r será igual a la distancia de P al pie de la perpendi-cular a r que pasa por P (lo llamaremos Q) r A P Sea A(x1,y1) un punto cualquiera de la recta r. ax1+by1+c=0 ax1+by1= -c Q y su vector direccional El vector es perpendicular a la recta r La distancia es siempre una cantidad positiva FÓRMULA DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Distancia de un punto a una recta (Ejemplo) GEOGEBRA Distancia de un punto a una recta (Ejemplo) Vamos a hallar la distancia del punto P(-3,5) a la recta r de ecuación x-3y+7=0. En el denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuación de la recta

Distancia entre dos rectas paralelas Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta. r Sean r y s dos rectas paralelas: Pr(x0,y0) s Sea Pr(x0,y0) un punto de la recta r, es decir: Ax0+By0=-C

Hoja de problemas con soluciones: http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geometriaplano.pdf Teoría y ejercicios: http://personales.unican.es/gonzaleof/# Maneja vectores: http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm