DISCUSIÓN DE SISTEMAS POR GAUSS-JORDAN TEMA 5.3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DISCUSIÓN POR GAUSS Recordemos el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales: Sea: a.x + b.y + c.z = d a b c d a’,x + b’.y + c’.z = d’ A/B = a’ b’ c’ d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” a” b” c” d” Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a”/a Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’/a Queda: a b c d 0 e f g 0 e ’ f ’ g ’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DISCUSIÓN POR GAUSS Finalmente resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y obtengo finalmente: a b c d 0 e f g 0 0 h j Si el sistema hubiera tenido más filas, pero al convertir la matriz en otra de forma escalonada, el resto de filas fueran todas nulas, el efecto conseguido sería el mismo: 0 0 0 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO Sea - x + y = 1 -1 1 1 -2x+ 3y = 5  A/B = -2 3 5 -3x+ 2y = 0 -3 2 0 Al aplicar Gauss en la matriz A/B queda -1 1 1 -1 1 1 A/B = 0 1 3  A/B = 0 1 3 0 -1 -3 0 0 0 En la última fila todos los coeficientes son ceros. Pero el término independiente también es cero. Luego el sistema es compatible (tiene solución). En la última fila son todos ceros. Es una fila nula. Quedan dos filas no nulas, que coinciden en número con el número de incógnitas, Luego el sistema es determinado (tiene solución única). El sistema es compatible y determinado: y = 3  Como - x + y = 1 , -x +3 = 1  x = 2  Solución (2, 3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Resolución por GAUSS-JORDAN 31. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS Sea el sistema: a.x + b.y + c.z = d a b c d a´.x + b’.y + c’.z = d’ A/B = a’ b’ c’ d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” a” b” c” d” Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: a 0 0 k 0 e 0 g 0 0 h j Que significa: a.x = k , e.y = g , h.z = j Luego: x = k / a , y = g / e , z = j / h @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 1: x + y + z = 6 1 1 1 6 x - y + z = 2 A/B = 1 -1 1 2 2.x + y - 3.z = -5 2 1 -3 -5 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: 1 1 1 6 1 1 1 6 0 -2 0 -4  0 1 0 2 0 -1 -5 -17 0 -1 -5 -17 0 1 0 2  0 1 0 2 0 0 -5 -15 0 0 1 3 1 1 0 3 1(x) 0 0 1 0 1 0 2  0 1(y) 0 2 0 0 1 3 0 0 1(z) 3 Solución del sistema: x = 1 , y = 2 ,, z = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 2: x + y + z = 0 1 1 1 0 x - y + z = 0 A/B = 1 -1 1 0 2.x + y - 3.z = 0 2 1 -3 0 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: 1 1 1 0 1 1 1 0 0 -2 0 0  0 1 0 0 0 -1 -5 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0  0 1 0 0 0 0 -5 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1(x) 0 0 0 0 1 0 0  0 1(y) 0 0 0 0 1 0 0 0 1(z) 0 Solución del sistema: x = 0 , y = 0 ,, z = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 3: x + y + z = 6 1 1 1 6 3.x - y + z = 4 A/B = 3 -1 1 4 2.x + y - 3.z = -5 2 1 -3 -5 4.x +2.z = 10 4 0 2 10 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: 1 1 1 6 1 1 1 6 0 -4 -2 -14  0 -4 -2 -14 0 -1 -5 -17 0 -1 -5 -17 0 -4 -2 -14 0 0 0 0 0 1 0,5 3,5  0 1 0,5 3,5 0 -1 -5 -17 0 0 -4,5 -13,5 0 0 0 0 0 0 0 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ... EJEMPLO 3: 1 1 1 6 1 1 1 6 0 1 0,5 3,5  0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1(x) 1 1 1 0 1 0 2  0 1(y) 0 2 0 0 1 3 0 0 1(z) 3 Solución del sistema: x = 1 , y = 2 , z = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 4: x + y + z - 2t = 0 1 1 1 -2 0 x - y + z + t = 3 A/B = 1 -1 1 1 3 2.x + y - 3.z - 3.t = 5 2 1 -3 -3 5 Opero mediante el Método de Gauss-Jordan y obtengo: 1 1 1 -2 0 1 1 1 -2 0 0 -2 0 3 3  0 1 0 -1,5 -1,5 0 -1 -5 1 5 0 -1 -5 1 5 0 1 0 -1,5 -1,5  0 1 0 -1,5 -1,5 0 0 -5 -0,5 3,5 0 0 1 0,1 -0,7 1 0 0 -0,4 2,2 1(x) 0 0 2,2 + 0,4.t 0 1 0 -1,5 -1,5  0 1(y) 0 -1,5+1,5.t 0 0 1 0,1 -0,7 0 0 1(z) -0,7-0,1.t Solución del sistema: x = 2,2 + 0,4.t , y = -1,5 + 1,5.t , z = -0,7 – 0,1.t @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.