Estadística Administrativa II 2014-3 Métodos no paramétricos – Prueba de wilcoxon

Prueba de rangos con signos de Wilcoxon Muestras dependientes

Características No requiere que las muestras estén distribuidas normalmente. Aplica para distribuciones nominales Desarrollada por Frank Wilcoxon en 1945 Se basa en el concepto de una muestra tomada en dos momentos diferentes.

Procedimiento Definir el estado de las observaciones (2 columnas) Calcular la diferencia entre cada uno de los datos de la misma instancia. Calcular la diferencia absoluta entre cada línea de la tabla. Ordenar la tabla de menor a mayor de acuerdo a la columna de la “diferencia absoluta”. Eliminar las diferencias nulas A valor menor asignar el rango 1 y completar hasta el dato mayor con el rango igual al tamaño de la muestra. Si los datos de la diferencia absoluta se repiten, el rango es el promedio de los datos iguales (Rango = 6, 7, 8, convertir a (6+7+8)/3 = 7)

Procedimiento Adicionar columna R+ y R- En la columna R+ se colocan los rangos de los valores que obtuvieron una diferencia positiva. En la columna R- se colocan los rangos de los valores que obtuvieron una diferencia negativa. Sumar los resultados de R+ y los resultados de R-. Asignar a W el valor menor entre R+ y R- Comparar con el valor definido como punto crítico para aceptar o rechazar la hipótesis.

Ejemplo . . . Se quiere lanzar un nuevo producto de pollo con especies y el gerente general hará una prueba piloto para evaluar si los clientes prefieren el sabor del pollo normal o el pollo con especies. La prueba piloto se hizo a 15 clientes que calificaron ambos sabores con datos del 1 al 20; en donde el gusto por un sabor esta representado por los valores más altos. Revisando los datos de la tabla, ¿es razonable concluir que el sabor a especies es el preferido con un nivel de confianza de 0.05?

. . . Ejemplo Calcular la diferencia entre el sabor a especies y el sabor actual (14–12=2, 8-16=-8). Muestra: 15 Valores neutros: 1 Muestra útil: 14

. . . Ejemplo Calcular la diferencia absoluta. Se aplica el valor absoluto. 𝑎 = 𝑎 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜) −𝑎 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)

. . . Ejemplo Ordenar la tabla de menor a mayor por la columna de diferencia absoluta. Eliminar los resultados neutros. Agregar la columna “Rango”.

. . . Ejemplo Enumerar la columna rango desde el valor más pequeño. Culmina en el rango igual que el tamaño de la muestra. Ubicar los valores repetidos (8 y 9)

. . . Ejemplo Calcular el promedio de la columna rango solo para los valores repetidos. El promedio resultante se coloca en lugar de los rangos que se habían definido. Crear las columnas R+ y R-

. . . Ejemplo Colocar en R+ los rangos cuyas diferencias hayan sido positivas. Colocar en R- los rangos cuyas diferencias hayan sido negativas. Sumar ambas columnas

. . . Ejemplo Hipótesis: 𝐻 0 :𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 Nivel de significancia: Estadístico de prueba: Regla de decisión: Si el menor de ambas columnas es 25 o menos, se rechaza la hipótesis nula.. 𝐻 0 :𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐻 𝑎 :𝐺𝑢𝑠𝑡ó 𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒𝑠 𝛼=0.05 𝑊=𝑚𝑖𝑛 𝑅 + , 𝑅 − 𝑛=14 𝛼=0.05 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 W=25

. . . Ejemplo Toma de decisión Los rangos definidos son: 𝑅 + =75 Tomar el resultado más pequeño. El valor crítico es 25 y ambos resultados caen 𝑅 + =75 𝑅 − =30 𝑇=30 W=25

Prueba de rangos con signos de Wilcoxon Muestras independientes

Muestras independientes La prueba de rangos con signos de Wilcoxon en muestras independientes. Determinan si las muestras provienen de una misma población. Los datos se clasifican como si los datos de ambas muestras forman parte de una misma muestra. Alternativa para el estadístico de prueba t Las poblaciones no se distribuyen normalmente No se conocen las varianzas poblacionales

Prueba de rangos con signos de Wilcoxon para muestras independientes. Si la hipótesis alternativa es verdadera, una de las muestras tendrá mayor cantidad de rangos bajos y, por tanto, una suma de rangos menor. Estadístico de pruebas: 𝑧= 𝑊− 𝑛 1 𝑛 1 + 𝑛 2 +1 2 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 1 + 𝑛 2 +1 12 𝑛 1 :1° 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 2 :2° 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑊:𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝑑𝑒 1° 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Ejemplo . . . El CEO de Airlines, hace poco observo un aumento en el numero de personas que no llegan a tomar los vuelos que salen de Atlanta. Su interés principal es determinar si hay mas personas que no se presentan a tomar los vuelos que salen de Atlanta en comparación con vuelos que salen de Chicago. Una muestra de nueve vuelos de Atlanta y ocho de Chicago aparece en la tabla siguiente. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿es posible concluir que hay más personas que no se presentan a tomar los vuelos que salen de Atlanta? No se conocen las varianzas poblacionales; por lo que no puede utilizarse la distribución t.

. . . Ejemplo Hipótesis Nivel de significancia Estadístico de prueba 𝐻 0 :𝐴𝑡𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎≤𝐶ℎ𝑖𝑐𝑎𝑔𝑜 𝐻 𝑎 :𝐴𝑡𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎>𝐶ℎ𝑖𝑐𝑎𝑔𝑜 𝛼=0.05 𝑧= 𝑊− 𝑛 1 𝑛 1 + 𝑛 2 +1 2 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 1 + 𝑛 2 +1 12

. . . Ejemplo Regla de decisión 𝛼=0.05 1𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑧=1.65 Toma de decisión Hacer una sola muestra Determinar el ordenamiento de rangos como una sola muestra Calcular el promedio a los resultados iguales Dividir las muestras

. . . Ejemplo 𝑊= 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝐴𝑡𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑊=96.5 𝑛 1 =9 𝑛 2 =8 𝑊= 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 𝐴𝑡𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑊=96.5 𝑛 1 =9 𝑛 2 =8 𝑧= 96.5− 9 9+8+1 2 9 8 9+8+1 12 𝑧= 96.5−81 96 = 15.5 10.392 =1.49

. . . Ejemplo Parece que el número de pasajeros que se pierden en el aeropuerto de Atlanta es similar al de Chicago. La hipótesis nula se acepta. Calcular la probabilidad para z=1.49. Solo existe un 7% de que la hipótesis nula pueda ser rechazada. La hipótesis nula se acepta. 𝑃 𝑧=1.49 =0.4319

Fin de la presentación Muchas gracias Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill