Identificación de Sistemas Señales determinísticos de tiempo discreto

Contenido Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas La transformada discreta de Fourier Análisis de sistemas de tiempo discreto Los operadores de adelanto y de retardo Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto resumen

Analisis de Fourier de señales deterministicas de tiempo discreto

Señales de tiempo discreto Notacion: u es la señal de tiempo continuo que, posiblemente, sea la causa de la señal de tiempo discreto ud(k) := u(kTs) k =1, 2, ···. . Frecuencia de muestreo

Propiedades de las señales Energia Potencia

Series de Fourier de tiempo discreto Sea ud(k) una señal de tiempo discreto periodica. La serie Fourier de tiempo discreto de la señal está dada por ω0 = 2π/(N0Ts) período N0 Los coeficientes son tambien periodicos

Series de Fourier de tiempo discreto y continuo Caso discreto Caso continuo

Señal periódica de tiempo discreto periodicos ! Coeficientes de la serie Señal

Potencia de las señales periódicas Solo N0 valores !! Cada función exponencial en u tiene una contribución independiente a la potencia de la señal

Transformada de Fourier para tiempo discreto La Transformada de Fourier para señales muestreadas (de tiempo discreto) está dada por La transformada es una funcion continua en w

Transformada de Fourier para tiempo discreto La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por Ya que k es un entero, la transformada Us(ω) es una función periódica de período 2π/Ts = ωs

Transformada de Fourier para tiempo discreto La Transformada de Fourier de la señal de tiempo discreto ud está dada por La integral se puede tomar sobre cualquier rango de ω con longitud 2π/Ts,

Transformada de Fourier para tiempo discreto las señales en verde son las equivalentes para tiempo continuo Señal Transformada

Transformada de Fourier para señales de tiempo finito Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs]) Solo N valores !!

Transformada de Fourier de señales periódicas Para una señal periódica con período T0 los coeficientes de la serie de Fourier pueden estar directamente relacionados con una transformada de Fourier de tiempo finito, tomada durante un período de la señal periódica

Transformada de Fourier de un tren de impulsos Señal Transformada

Potencia de las señales periódicas La potencia de la señal se puede calcular a partir de la Transformada de Fourier

Densidades espectrales de energía y de potencia de señales discretas

Densidad Espectral de Energía Para una señal de energía ud(k) Donde Ψu(ω) es la Densidad Espectral de Energía

Densidad Espectral Potencia Para una señal de potencia Donde Φu(ω) es la Densidad Espectral de Potencia

Periodograma Para señales de potencia finita la cantidad se denomina el periodograma de la señal de tiempo discreto (de tiempo finito).

Densidad espectral de Señales periódicas Para señales periódicas la densidad espectral de potencia puede ser calculada directamente en base a los coeficientes de Fourier de tiempo discreto

La transformada discreta de Fourier

Transformada de Fourier para señales de tiempo finito Las señales de tiempo finito que están definidas en el intervalo [0,N], (o, estrictamente, entre [0,NTs]) Solo N valores !!

Transf. de Fourier de señales discretas de tiempo finito Si restringimos la atención a la situación de señales de tiempo finito, la DTFT de tiempo finito esta dada por el par:

Transf. de Fourier de señales discretas de tiempo finito Observese que mientras UN(ω) toma sus valores en una región continua de ω, para reconstruir la señal original ud sólo son necesarios N valores discretos de UN .

La transformada discreta de Fourier Esta secuencia, UN(ω) , = 0, …N – 1}, se denomina la Transformada discreta de Fourier (DFT) de la señal ud(k)

La transformada discreta de Fourier La Transformada discreta de Fourier (DFT) ¿Qué se puede observar?

La transformada discreta de Fourier La Transformada discreta de Fourier (DFT) 1 Es periódica con un período de 2π/Ts.

La transformada discreta de Fourier La Transformada discreta de Fourier (DFT) 2 Constituye un mapeo uno a uno de una secuencia de longitud N de muestras en el dominio del tiempo a una secuencia de longitud N de muestras en el dominio de la frecuencia

La transformada discreta de Fourier La Transformada discreta de Fourier (DFT) 3 Debido a razones de simetría, la DFT satisface UN(−ω) = UN(ω)∗

La transformada discreta de Fourier La Transformada discreta de Fourier inversa 4 La DFT inversa, también define una secuencia en el dominio del tiempo fuera del intervalo [0, N − 1]. Induce una extensión periódica de la secuencia original ud(k), ya que la señal reconstruida es periódica con período N

La transformada discreta de Fourier para Ts = 1 En muchas situaciones las señales de tiempo discreto son analizadas sin tener en cuenta el hecho que ellas provienen de señales muestreadas en tiempo continuo

¿Preguntas?

Computo de la transformada discreta de Fourier Para el calculo de la transformada discreta de Fourier, un computador digital únicamente trabaja con datos discretos de u(t), k = 0, …, N – 1. Además debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w, es decir,

Computo de la transformada discreta de Fourier Recalquemos que se debe calcular la transformada sólo en valores discretos de w,

Computo de la transformada discreta de Fourier Es decir, para calcular la transformada es necesario usar solo las primeras N funciones exponenciales complejas periódicas

Computo de la transformada discreta de Fourier inversa Tambien se observa que La DFT inversa es un polinomio trigonométrico de interpolación de grado ≤ N – 1 para las señales discretas de tiempo finito .

Forma vectorial de la trans. discreta de Fourier Se puede reformular la serie discreta Fourier en forma vectorial Definiendo

Forma vectorial de la trans. discreta de Fourier Entonces

Forma vectorial de la trans. discreta de Fourier Considerando se puede escribir

la matriz de Fourier Definimos la matriz de Fourier WN dada por entonces

Forma vectorial de la trans. discreta de Fourier La transformada discreta de Fourier esta dada en terminos de las matrices de Fourier se expresa por el par

Matriz de Fourier para N = 4 Por ejemplo, para N = 4 ud(k), k = 0, 1, 2, 3

Carga computacional de la Transformada Fourier En general, el cálculo de todos los coeficientes de Fourier discretos de una señal muestreada N veces requiere un total de N2 multiplicaciones complejas y sumas complejas Similarmente, dados los coeficientes de Fourier, la reconstrucción de la señal muestreada requiere de N2 – N multiplicaciones complejas y N2 – N sumas complejas.

Transformada rápida de Fourier James Cooley y John Tukey descubrieron un algoritmo mucho más eficiente La Transformada rápida de Fourier (FFT) número de cálculos aproximado: disminuye en orden desde N2 a Nlog (N) Requerimiento: N = 2n , n entero

Propiedades de las señales tratadas por sistemas de tiempo discreto

En el dominio de la frecuencia Para un sistema LTI de dimension finita con señal de entrada u(t) Transformada de Fourier Densidad espectral de energía Densidad espectral de potencia

Resumen

Analisis de Fourier para señales

Fuentes Van den Hof Paul M.J., Bombois Xavier, System Identification for Control. Lecture Notes DISC Course. Delft Center for Systems and Control. Delft University of Technology. March, 2004 Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999. Moler C. and Moler K., Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc. and Stanford University. 2003. Basile G. and Marro G., Controlled and Conditioned Invariants in Linear Systems Theory. Department of Electronics, Systems and Computer Science. University of Bologna, Italy. October 7, 2002 Tham M.T., Dynamic Models for Controller Design. Department of Chemical and Process Engineering. University of Newcastle upon Tyne. 1999

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