Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Transformaciones Elementales. Indice: Definición de Transformación Elemental. Ejemplos Definición de Matriz Elemental Aplicaciones: Calculo del Rango de una Matriz. (Matrices Equivalentes) Calculo de la Inversa de una Matriz. Resolución de sistemas de ecuaciones Lineales. (Forma Escalonada) Teorema de Rouche Frobenius

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Definición de Transformación Elemental Operación que se realiza sobre una fila o una columna de una matriz y que puede ser de los tres tipos siguientes: Fi ↔ Fj Intrercambio de la fila i-esima por la fila j-esima Fi → aFj Multiplicar la fila i-esima por el escalar a Fi → Fi+aFj A la fila i-esima se le suma la j-esima multiplicada por a Estas operaciones no modifican la dimensión ni el rango de la Matriz La matriz resultante se dice que es equivalente a la matriz de partida

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Definición de Matriz Elemental Se denomina matriz elemental a toda matriz cuadrada obtenida al realizar una transformación elemental a la matriz unidad. Ej: F1 ↔F3 C2 → C2+3C1 Las Matrices resultantes siempre son matrices regulares

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Realizar una transformación elemental de filas sobre una matriz Amxn equivale a premultiplicarla por la matriz elemental correspondiente Pmxm F1 ↔F3 B3x2 =P3x3 A3x2 Realizar una transformación elemental de columnas sobre una matriz Amxn equivale a postmultiplicarla por la matriz elemental correspondiente Qnxn C2 →C2 +3C1 C3x2 =A3x2 Q2x2

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Aplicaciones: Cálculo del Rango de una matriz Rango: Orden del mayor menor no nulo que se puede extraer de una matriz. H Matriz mas sencilla equivalente a A (Tienen el mismo rango) P Matriz de transformaciones elementales de filas Q Matriz de transformaciones elementales de columnas H=P A Q La matriz H se llama forma canónica de Hermite de la matriz A r=Rango de A

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Rango de una matriz: Ejemplo F3-F1 F3+F2 C2-2C1 C3-C1 C4-3C1 C3-C2 C4-C2

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Aplicaciones: Inversa de una matriz Rango igual al numero de filas y columnas Admite inversa Su forma canónica de Hermite H=Inxn Determinante ≠ 0 Matriz Regular (Matriz Cuadrada) Si A es regular: H=PAQ I=PAQ ; Se puede llegar a obtener I solo con transformaciones elementales de filas ó solo con transformaciones elementales de columnas. > Solo filas: I=PAQ I Q-1=PA Q-1 I=PA I=QPA > > Solo columnas: I=PAQ P-1 I=AQ I P-1 =AQ I=AQP >

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de la Inversa > Solo filas: I=PA A-1=P I Haciendo transformaciones de filas se llega de A a I (matriz P) Aplicando las misma transformaciones de filas a la matriz unidad se llega de I a A-1 > Solo columnas: I=AQ A-1= IQ Haciendo transformaciones de columnas se llega de A a I (matriz Q) Aplicando las misma transformaciones de columnas a la matriz unidad se llega de I a A-1

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de la Inversa: Transformaciones de filas F2+F1 F3-2F1 F1-F2 F3+2F2

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Cálculo de la Inversa: Transformaciones de columnas C2-C1 C1+C2 C2+2C3

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Aplicaciones: Sistemas de ecuaciones lineales, resolución. Método de resolución: Eliminación Gaussiana. Se pretende obtener un sistema equivalente al de partida (misma solución) mas sencillo de resolver. Se transforma el sistema inicial mediante transformaciones elementales (de filas básicamente) Consta de dos partes, triangularización-eliminación y sustitución regresiva

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Primera etapa de la eliminación Pivote

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Segunda etapa de la eliminación Pivote

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Sustitución regresiva

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Ejemplo F2-2F1 F3-3F1 F3-2F2 Sustitución regresiva x3=3; -x2-2x3=-8; x2=2; x1+2*2+3*3=14; x1=14-4-9=1

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Ejemplo 2: Sistema incompatible F2-3F1 F3-4F1 F3-F2 M. Coeficientes Dos escalones M. Ampliada Tres escalones

Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales. Caso general 1º Escalonamiento de la matriz Ampliada. Nº etapas= Nº Ecuaciones -1 2º Compatibilidad del sistema: (Análisis de escalones) - Si Nº escalones M. Coeficientes = Nº escalones M. Ampliada Sistema Compatible - Si Nº escalones M. Coeficientes ≠ Nº escalones M. Ampliada Sistema Incompatible 3º Resolución:(Sustitución regresiva, solo para sistemas compatibles) Despejar de cada ecuación la incógnita que está en el escalón. - Si Nº escalones = Nº incógnitas Sistema compatible determinado - Si Nº escalones < Nº incógnitas Sistema compatible indeterminado

Análisis de un sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra Lineal – Escuela Superior de Ingeniería de Bilbao – UPV/EHU Análisis de un sistemas de ecuaciones lineales. Escalonamiento de la matriz Ampliada. Compatibilidad del sistema: (Análisis de escalones) p=Nº Escalones M. Coeficientes q=Nº Escalones M. Ampliada Sistema compatible determinado. Solución única Si p=q Sistema compatible. Estudio del Nº de Soluciones. n=Nº incógnitas p=q=n Si No No Sistema Incompatible Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones