Unidad V: Estimación de Parámetros

Propósito de la Inferencia de estadística Estimación de parámetros Pruebas de Hipótesis Puntual Intervalar Nivel de Confianza Métodos de Estimación Momentos Máximo Verosímil Propiedades Método del Pivote

Pruebas de Hipótesis Concepto Tipos de errores Hipótesis Nula Hipótesis alternativa Unilateral Bilateral Nivel de Confianza Valor-p Región Crítica Decisión

5.7 Propiedades de los estimadores puntuales Es interesante establecer algunos criterios bajo los cuales la calidad de un estimador puede ser evaluada. Estos criterios definen, en general, propiedades deseables de los estimadores que nos sirven para compararlos. Sesgo: Estimadores Insesgados:

Por lo tanto, dados dos estimadores para el parámetro θ, y siendo todo el resto de las condiciones equivalentes para ambos, se elegirá siempre aquel de menor varianza.

Ejemplo La respuesta está en la desigualdad de Cramer-Rao que proporciona una cota inferior para la varianza de cualquier estimador insesgado del parámetro de una distribución de probabilidades, bajo condiciones de regularidad que incluyen:

El espacio de valores de la variable aleatoria involucrada debe ser independiente del parámetro. La función de densidad (o función de probabilidad) debe ser una función continua y diferenciable del parámetro. Teorema 5.7 (Cramer-Rao). Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de tamaño n de una población X con función de densidad (o función de probabilidad) f(x,θ), que depende de un parámetro θ desconocido, y satisface las condiciones de regularidad.

La cantidad I(θ) es conocida como cantidad de información o Información de Fisher. De aquí que la CCR también se conoce con el nombre de Desigualdad de Información. En la clase de estimadores insesgados, la cota inferior en la desigualdad de información es 1/I(θ), independientemente del estimador que estemos considerando. La desigualdad de Cramer-Rao se puede escribir como:

La CCR puede extenderse fácilmente para ciertas transformaciones del parámetro. Específicamente, si φ = g(θ) es una transformación uno a uno y diferenciable, entonces:

Ejemplo Sea X1, X2 una muestra aleatoria de tamaño 2 de X con distribución Exponencial de parámetro  desconocido.

Teorema 5.8

Ejemplo Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una población con distribución de probabilidades con media  y varianza 2 < .

Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución de probabilidades con parámetro desconocido θ. T = T(X1,…,Xn) es un estadístico suficiente para θ, si y sólo si, la distribución condicional de (X1,…,Xn) dado T = t, para todo valor de t, es independiente de θ.

Ejemplo Consideremos los resultados observados de n ensayos Bernoulli independientes X1,…,Xn donde Xi = 1 con probabilidad p y es 0 con probabilidad 1 – p. Una manera de responder es observar la distribución condicional de X1,…,Xn dado T = t; esto es:

Ejemplo Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una población con distribución exponencial con media ; esto es, Xi posee función de densidad. La función de verosimilitud de la muestra es la densidad conjunta

Ejemplo Sea X1,…,Xn una muestra aleatoria de una distribución uniforme en (0,θ) y determinemos un estadístico suficiente para θ. La función de verosimilitud de la muestra aleatoria es lo que es equivalente a escribir Así, tenemos la factorización donde es la función indicadora de un conjunto A.

Ejemplos: Prob.: Se registraron los siguientes datos, en días, que representan el tiempo de fabricación de un determinado producto con dos procesos distintos. Proceso 1 34 17 2.5 Proceso 2 56 19 1.8 a) Encuentre un I. de C del 95% para el tiempo promedio de fabricación del proceso 1. b) Se cree que la persona que tomó los datos en el proceso 1 no lo hizo correctamente, ya que experiencias anteriores indican que la varianza es de 12,9683. Para demostrar que S obtenida anteriormente estaba errada, se considera una nueva muestra aleatoria de 10 tiempos. ¿Cuál es la probabilidad que la varianza muestral de esta nueva muestra, supere el valor obtenido anteriormente?.

Ejemplos: Prob.: Se registraron los tiempos utilizados en la compra para 64 clientes seleccionados al azar en un supermercado local. La media y la varianza de los 64 tiempos de compra fueron 33 minutos y 256, respectivamente. Encuentre un I. de C. del 95 % para el verdadero tiempo promedio.