THE TETRACTYS Or high Mathesis, with her charm severe, Of line and number, was our theme; and we Sought to behold her unborn progeny, And thrones reserved in Truth's celestial sphere: While views, before attained, became more clear; And how the One of Time, of Space the Three, Might, in the Chain of Symbol, girdled be: And when my eager and reverted ear Caught some faint echoes of an ancient strain, Some shadowy outlines of old thoughts sublime, Gently he smiled to see, revived again, In later age, and occidental clime, A dimly traced Pythagorean lore, A westward floating, mystic dream of FOUR

Geometría Si hacemos coincidir los ejes de un sistema cartesiano dextrógiro:x,y,z con las cantidades cuaterniónicas: i,j,k respectivamente, es posible interpretar el cuaternión i como una rotación en 3-dimensiones en sentido positivo alrededor del eje-i, siendo el plano–jk el plano complejo. Análogamente ocurre con los cuaterniones j y k. Sin embargo, con estas rotaciones de un ángulo recto, no funcionan las relaciones producto, pues si hacemos una rotación en i seguida de una en j, no obtenemos la k- rotación.

Geometría Este hecho se soluciona girando dos ángulos rectos,con lo que devolvemos al objeto a su posición original, y si tenemos en cuenta el concepto de spinor, objeto que se transforma en su negativo al sufrir una rotación completa de 2 ,obtendremos una de las ecuaciones que definen a los cuaterniones i 2 =-1.

Geometría Estos conceptos se entenderán mejor a través de un ejemplo: “Tomemos un libro y dejémoslo cerrado frente a nosotros sobre una mesa. E imaginemos que el eje-k es vertical,el eje-i va hacia la derechas de modo que el eje-j forme un triedro a derechas con los otros dos,estando su origen en el centro del libro. Ahora giremos el libro un ángulo recto en sentido dextrógiro alrededor del eje-i y acto seguido repitamos la operación pero alrededor del eje- j,con lo que al final de las dos rotaciones el libro tendrá su lomo hacia arriba. Sin embargo,podemos observar que no podemos devolverlo a su posición original girando simplemente alrededor del eje-k. Por tanto, lo que debemos hacer es girar dos ángulos rectos.

Geometría Es en este punto dónde interviene el concepto de spinor,y para entenderlo colocaremos de nuevo el libro en posición horizontal sobre la mesa pero introduciremos entre sus hojas una cinta suficientemente larga cuyo extremo libre dejaremos fijado a alguna estructura no móvil. Y ahora rotemos el libro un ángulo de 2 ,con lo que la cinta quedará retorcida. Si repetimos la operación,el ángulo total de rotación será 4  y la torsión de la cinta puede eliminarse pasándola por encima del libro manteniendo éste en la misma posición.”

De este experimento se deduce que la cinta conserva la huella de paridad del número de rotaciones de 2 , y que si giramos un número par de veces podemos eliminar al torsión, mientras que esto no ocurre si giramos un número impar de rotaciones de 2 . Llegados a este punto podemos definir un objeto espinorial como un objeto ordinario en el espacio con una atadura imaginaria flexible a cierta estructura fija externa, de modo que la atadura pueda moverse de forma continua pero sus extremos permanezcan fijos,uno al objeto en si,y la otra a la estructura externa. De modo que dos configuraciones serán equivalentes solo si la atadura imaginaria de una puede deformarse de forma continua hasta coincidir con la atadura imaginaria de la otra.

Comprobemos que podemos obtener las leyes de los cuaterniones de Hamilton: “Utilizando el mismo libro con la cinta entre sus hojas, rotémoslo un ángulo  alrededor del eje-i seguido de una rotación igual en el eje-j, obteniéndose una rotación de  alrededor del eje-k, de acuerdo con la ley de Hamilton ij=k” Como hemos insistido en que las rotaciones sean dextrógiras,lo que realmente observamos en la torsión es ij=-k, hecho que podemos solucionar sin más que hacer que las rotaciones sean levógiras de 2  o tomar nuestros ejes:i,j,k con una orientación a izquierdas.