Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis matemático Dr. Ricardo Cantoral Uriza Cinvestav, IPN México

La investigación en Matemática Educativa se ocupa, desde nuestro punto de vista, de analizar los fenómenos didácticos producidos cuando el saber matemático es escenificado en el sistema escolar, en la escuela, el aula, los programas, los textos,... La naturaleza social de nuestra actividad disciplinar exige de la consideración de distintos “puntos de vista”, lo que induce paradigmas

Tradiciones, paradigmas y escuelas Entendemos que una escuela del pensamiento está en curso de constitución, cuando un colectivo humano acepta compartir y negociar significados, usos y explicaciones sobre las distintas nociones, conceptos, procedimientos, marcos teóricos y sistemas de validación

Las disciplina de investigación involucra a otras... Pedagogía Sociología Epistemología Semiótica Psicología Ciencia Cognitiva Matemática Educativa

… resultados de investigación Innovaciones producto de la investigación Información Cuantitativa Información Cualitativa Perspectivas Teóricas Inducen modificaciones de la práctica docente Permiten predecir fenómenos al interior del sistema didáctico Modifican creencias acerca del sistema didáctico Objetivos Pragmáticos Objetivos Científicos

Pregunta fundacional, AES... Rediseñar el discurso matemático de la enseñanza de tal manera que enfrente realmente el problema de la masificación y no que la soslaye... habrá que hacer abstracciones de algunos de los paradigmas del discurso matemático puro que tan caros son para muchos, tan caros que sacrifican la comunicación...

¿Deserción o expulsión? Fracciones CálculoÁlgebra

Indicativos nacionales

Número de alumnos por nivel educativo en 1986 y en 1996 Educación Básica: 21,685,100 en ,480,700 en ,000,000 en 2000 Educación Media: 1,941,900 en ,438,700 en ,850,000 en 2000 Educación Superior: 1,157,600 en ,522,000 en ,833,300 en 2000

Distribución de la matrícula por nivel de escolaridad

Estructura del sistema educativo Estructura del sistema educativo nacional en sus ciclos primario, secundario y terciario

Distribución de tiempo escolar...en ingeniería se consideran cinco grupos básicos de materias que deberán ser cubiertos con un mínimo de horas totales de clase de teoría y laboratorio,

Estructura curricular clásica. Educación universitaria Ciencias Básicas Matemáticas, física, química Ciencias de la Ingeniería Mecánica, electromagnetismo, termodinámica, mecánica de fluidos... Cursos especializados MATEMATICAS Cálculo Ecuaciones diferenciales Algebra lineal Análisis numérico Probabilidad y estadística Modelación matemática

Se espera que con el CÁLCULO el estudiante se capacite en la modelación matemática y de este modo interprete un conocimiento al seno de su mundo, de los conceptos físicos de la ingeniería. Empero, la enseñanza tradicional NO ES CONGRUENTE con su objetivo de enseñanza

x f(x) 1 3 Una función es un correspondencia entre los elementos de un conjunto X y los... Las parejas en un baile

Construcción social Este saber se ha constituido socialmente, en ámbitos no escolares y su introducción al sistema de enseñanza le obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento.

Pensamiento y Lenguaje Variacional Seguimos una aproximación sistémica, que llamamos socioepistemología, la cual nos permite tratar en forma articulada con las cuatro componentes de la construcción social del conocimiento: su naturaleza epistemológica, la dimensión sociocultural, los niveles de lo cognitivo, y los modos de transmisión vía la enseñanza

PyLV En este sentido, el pensamiento y el lenguaje variacional será entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno del acercamiento socioepistemológico, permita tratar la articulación entre la investigación y las prácticas sociales asociadas a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos

Conclusiones de las diversas experiencias Hemos constatado, que en el caso de la apropiación de un lenguaje gráfico como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, conciben entonces a la función como objeto y pueden transitar entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad

Significado y sentido ¿Dónde es positiva f (x)?

Significado y sentido ¿Dónde es positiva f ‘(x)?

Significado y sentido ¿Dónde es positiva f ‘’(x)? + + +

Significado y sentido ¿Dónde es positiva f ‘’’(x)? ?

Ejemplos de dislexias escolares La enseñanza habitual del cálculo diferencial e integral, por ejemplo, logra que los estudiantes deriven, integren, calculen límites elementales sin que sean capaces de asignar un sentido más amplio a las nociones involucradas en su comprensión.

Enseñanza habitual la derivada se introduce al seno escolar como una medida de la inclinación de la recta tangente a una curva. El concepto de derivada se presenta en clase mediante una explicación que utiliza la pendiente de la recta tangente a los estudiantes de entre 16 y 18 años de edad. Eso presupone que la noción de pendiente, introducida a los 12 y 14 años haya adquirido una cierta estabilidad funcional.

¿Qué explicación uso en clase?

Derivada y teorema de tales AB / BC = A’B’ / B’C C A B A’ B’ (f (x + h) - f (x) )/ h

“Derivada de una función” y = f (x) y = f ´ (x)

El discurso matemático escolar ¿Es igual a 1?20% ¿Es 9 / / / = 1?40% ¿Es lím  9 / 10 n = 1?80% Preguntas planteadas a estudiantes universitarios de diversos países que cursaban sus cursos de cálculo o análisis matemático

Un ejemplo de gestión de clase Problema: Sea V = ax 2 +ay 2 -2az 2 el potencial eléctrico con a constante. Encuentra el campo eléctrico y el valor de a para que el trabajo W de llevar una carga q=2  C del punto (0,0,2) al punto (0,0,0) sea –5  10 5 J Profesor: ¿Cuál es el trabajo? Estudiante: W=  F  D P: Pero no es un producto cruz... E: Entonces W=  F  D

Ayer, hoy y ojalá no, mañana P: Pero la D... ¿Es grandota?, acuérdate que es una integral E: ¡Ah, sí!, W=  F  d P: Pero se necesita el diferencial de longitud ¿no? E: ¡Sí claro!, W=  F  ddl P: Quítale una d y usa vectores E: W=  F  dl

D’Alambert o L’Hôpital Una pregunta que nos interesa consiste en cuestionar sobre las razones que hacen que una definición, se estabilice entre profesores y estudiantes con el paso del tiempo y se torne en creencia colectiva. A qué se debe que unas ideas como la de D'Alambert dominen el discurso educativo, se desarrollen y enriquezcan mientras que otras, como la de L'Hôpital, mueran y desaparezcan.

Hipótesis socioepistemológica La derivada se estabiliza sólo hasta que sea desarrollada la noción de derivada sucesiva ((((f)’)’)’)’... No habrá que entender como equivalentes la iteración como la sucesión f, f’, f’’, f’’’, f’’’’,...

Secuencia experimetal Dada f obtener f ' mediante el acercamiento socioepistemológico Dotar a f ' de un significado que le permita ser entendida a su vez como una nueva función. Dada f ' de algún modo, se busca construir f.

Actividad P&LV-12 ¿Qué valores se deben asignar a los parámetros A, B y C para que la gráfica de la función cuadrática y = A x 2 + B x + C sea tangente a la recta dada en el punto que se te indica? x + 2, en (0, 2)

Estilos de razonamiento

Regularidad lineal y = x 2 + x + 2 y = x + 2 y = x 2 + x + 2

Ricardo Cantoral