Postulados del álgebra de boole Definición: Algebra Booleana es un sistema algebraico cerrado formado por dos elementos 0 y 1 (Conjunto K), y dos operadores AND (x) y OR (+); para cada par de elementos a y b  K; a x b y a + b  K. Axiomas del algebra de Boole: Axioma 1: Existen elementos idénticos llamados “0” y “1”, tal que, para a K : a + 0 = a (elemento neutro) a x 1 = a (elemento identidad) Sistemas Digitales, Clase N°7

Axiomas del álgebra de boole Axioma 2: Ley de Conmutatividad Para a y b K : a + b = b + a a x b = b x a Axioma3: Ley de Asociatividad, Para a, b y c K : a + ( b+c ) = ( a + b ) + c a x ( b x c ) = ( a x b ) x c Sistemas Digitales, Clase N°7

Postulados del álgebra de boole Axioma 4: Ley de Distributividad Para a, b y c K : a + ( b x c ) = ( a + b) x (a + c) a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c) Axioma 5: elemento inverso Para cada elemento a K existe su elemento inverso tal que : Sistemas Digitales, Clase N°7

Principio de Dualidad Establece que si una expresión es valida en el álgebra de Boole, entonces su expresión dual también lo es. Determinamos la expresión dual remplazando los operadores “+” por “x” y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa. Ejemplo: a + ( b x c ) = 1, expresión su dual es: a x ( b + c ) = 0 Sistemas Digitales, Clase N°7

Teoremas Teorema 1: Operaciones con “0” y “1” Teorema 2: Operaciones superfluas con “0” y “1”: Teorema 3:operaciones superfluas con una variable Sistemas Digitales, Clase N°7

Teoremas Teorema 4: Involución (el complemento del complemento de A es igual a A). Teorema 5: teorema de Absorción: Teorema 6: t. de simplificación: Sistemas Digitales, Clase N°7

Teoremas Teorema 7: Teorema 8: Sistemas Digitales, Clase N°7

Teoremas Teorema 9: Teorema de Morgan En general: Sistemas Digitales, Clase N°7

Teoremas Teorema 10: Consenso Sistemas Digitales, Clase N°7

Funciones de Conmutación Sean x1, x2, … , xn símbolos llamados variables, cada uno representa un 0 o un 1, definiremos: Función de conmutación: es una correspondencia que asocia un elemento del álgebra con cada una de las combinaciones de las n variables x1, x2, … , xn. Ejemplos: En general una función de conmutación queda definida por una tabla de verdad. Sistemas Digitales, Clase N°7

Representación de una función de Conmutación Tabla de Verdad: Evaluamos todos los posibles valores de entrada de la función y los colocamos en una tabla en forma ordenada de acuerdo al sistema binario ascendente. Ejemplo: f(x,y) = a + b f(x,y) = a x b a b a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 a b axb 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Sistemas Digitales, Clase N°7

Tabla de Verdad Describa una función de conmutación con 3 entradas a,b y c y una salida z, que es verdadera (1) cuando al menos 2 de sus entradas son verdaderas (1). a b c f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Sistemas Digitales, Clase N°7

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Representación de una función de Conmutación Formas Algebraicas Suma de Productos: se construye al sumar (or) términos productos (and). Ejemplo: Producto de Sumas) se construye con el producto (and) de términos suma (or). Sistemas Digitales, Clase N°7

Representación de una función de Conmutación Formas Canónicas: Son formas Sumas de Productos y Productos de Sumas con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación. Mintérmino: término de una función de conmutación que corresponde al “AND” de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Ejemplo: Maxtérmino: término de una función de conmutación que corresponde al OR de todas las variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Sistemas Digitales, Clase N°7

Formas Canónicas Suma de Productos a b c f 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Relación con la tabla de verdad: Cada mintérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que: Las variables no están complementadas si tienen el valor 1 para la combinación en la cual la función vale 1. Las variables están complementadas si tienen el valor 0 para la combinación en la cual la función vale 1. Sistemas Digitales, Clase N°7

Formas Canónicas Suma de Productos Sistemas Digitales, Clase N°7

Formas Canónicas Producto de Sumas a b c f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Relación con la tabla de verdad: Cada maxtérmino está asociado con la línea de la tabla, tal que: Las variables no están complementadas si tienen el valor 0 para una combinación en que la función vale 0 Las variables están complementadas si tienen el valor 1 para una combinación en que la función vale 0 Sistemas Digitales, Clase N°7

Formas Canónicas Producto de Sumas Sistemas Digitales, Clase N°7

Representación de una función de Conmutación Especificación decimal: Suma de Productos: Producto de Sumas: Sistemas Digitales, Clase N°7

Relación Mintérminos - Maxtérminos Sistemas Digitales, Clase N°7

Deducción de Formas Canónicas Teorema de expansión de Shannon: Ejemplo: Si falta se multiplica por la suma es igual a 1 Sistemas Digitales, Clase N°7

Convertir a Suma de Productos Canónica a b c f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Sistemas Digitales, Clase N°7

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