Aplicaciones de la derivación OPTIMIZACIÓN Aplicaciones de la derivación

Optimización ¿Qué es optimizar? ¿Cómo se optimiza? Método por el cual se encuentra la mejor forma de utilización de algún recurso ó mejora de proceso. ¿Cómo se optimiza? No existe regla general, pero si se sugiere seguir los siguientes pasos: Leer muy bien el problema. Plantear función a optimizar. Procesar función en términos de una sola variable. Aplicar Criterio de Primera Derivada. Detectar Máximos ó Mínimos según el problema. Interpretar la Solución.

𝑥 𝑦 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 Optimización Ejemplo #1: Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálica Para cercar un jardín rectangular. Determine el área máxima posible del jardín. 𝑥 𝑦 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

𝑥 𝑦 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 Optimización Ejemplo #1: Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálica Para cercar un jardín rectangular. Determine el área máxima posible del jardín. 𝑥 𝑦 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

𝑥 𝑦 Optimización 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥𝑦 𝑃=2𝑥+2𝑦 Ejemplo #1: Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálica Para cercar un jardín rectangular. Determine el área máxima posible del jardín. 𝑥 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑦 Ecuación a optimizar: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥𝑦 Ecuación alterna en el problema: 𝑃=2𝑥+2𝑦

𝑥 𝑦 Optimización 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥𝑦 𝑃=2𝑥+2𝑦 50=𝑥+𝑦 100=2𝑥+2𝑦 Ejemplo #1: Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálica Para cercar un jardín rectangular. Determine el área máxima posible del jardín. 𝑥 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑦 Ecuación a optimizar: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥𝑦 Ecuación alterna en el problema: 𝑃=2𝑥+2𝑦 50=𝑥+𝑦 100=2𝑥+2𝑦 𝑦=50−𝑥 100=2(𝑥+𝑦)

DEJAR LA ECUACION A OPTIMIZAR EN UNA SOLA VARIABLE Optimización 𝑥 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑦 DEJAR LA ECUACION A OPTIMIZAR EN UNA SOLA VARIABLE Ecuación a optimizar: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥(50−𝑥) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =50𝑥− 𝑥 2 Criterio de la primera derivada: 𝐴′ 𝑚𝑎𝑥 =50−2𝑥 50−2𝑥=0 𝑥=25

𝑥 𝑦 Optimización 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝐴′ 𝑚𝑎𝑥 =50−2𝑥 50−2𝑥=0 𝑥=25 Criterio de la primera derivada: 𝐴′ 𝑚𝑎𝑥 =50−2𝑥 50−2𝑥=0 𝑥=25 ¿Será un Máximo ó un Mínimo? Criterio de la segunda derivada: 𝐴′′ 𝑚𝑎𝑥 =−2<0 es un máximo

𝑥 𝑦 Optimización 𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜 𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥(50−𝑥) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =25(50−25) Interpretación: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥(50−𝑥) El punto máximo de x es 25 entonces: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =25(50−25) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =625 𝑀𝑡𝑠 2 Esta es el área máxima que se puede encerrar con 100 Metros de malla metálica

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? Optimización Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? Optimización Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑦 𝑥 Ecuación a optimizar: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥𝑦 Ecuación alterna en el problema: 150−2𝑥=3𝑦 𝑃=2𝑥+3𝑦 𝑦= 150−2𝑥 3 150=2𝑥+3𝑦

Optimización 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥( 150−2𝑥 3 ) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 = 150 3 𝑥− 2 3 𝑥 2 Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑦 𝑥 DEJAR LA ECUACION A OPTIMIZAR EN UNA SOLA VARIABLE Ecuación a optimizar: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =𝑥( 150−2𝑥 3 ) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 = 150 3 𝑥− 2 3 𝑥 2 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =50𝑥− 2 3 𝑥 2

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? Optimización Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑦 𝑥 Ecuación a optimizar: 𝐴 𝑚𝑎𝑥 =50𝑥− 2 3 𝑥 2 Criterio de la primera derivada: 𝐴′ 𝑚𝑎𝑥 =50− 4 3 𝑥 50− 4 3 𝑥=0

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? Optimización Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑦 𝑥 50− 4 3 𝑥=0 50= 4 3 𝑥 50 4 3 =𝑥 37,5=𝑥 ¿Será un Máximo ó un Mínimo?

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? Optimización Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑦 𝑥 Criterio de la segunda derivada: 𝐴′ 𝑚𝑎𝑥 =50− 4 3 𝑥 𝐴′′ 𝑚𝑎𝑥 =− 4 3 <0 es un máximo

Optimización 37,5=𝑥 𝑦= 150−2𝑥 3 𝑦= 150−2(37,5) 3 𝑦=25 Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 𝑦 𝑥 37,5=𝑥 MAXIMO Ya tengo la dimensión x, para la dimensión y remplazo en: 𝑦= 150−2𝑥 3 𝑦= 150−2(37,5) 3 𝑦=25

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? Optimización Ejemplo #2: En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima? 25 37,5

Optimización Ejercicio : Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un rio recto. No necesita cercar a lo largo del rio. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?

Leer Ejemplo 2 de la página 322, Cap 4, Sección 4.7 Tarea: Leer Ejemplo 2 de la página 322, Cap 4, Sección 4.7