Diseño en bloques completamente aleatorizados Diseño en bloques completamente aleatorizados. El modelo de diseño de experimentos con bloques más sencillo es el diseño de bloques completamente aleatorizados, con este diseño se quiere estudiar la influencia de un factor tratamiento (T) con I niveles en una variable de interés en presencia de una variable extraña, el factor bloque, B, que tiene J bloques.

El motivo de la denominación de este modelo es la siguiente: se ha agrupan las unidades experimentales en J bloques, en función de B, aleatorizando la forma de asignar los tratamientos dentro de cada bloque y es un diseño completo y equilibrado porque cada tratamiento se utiliza exactamente una vez dentro de cada bloque. En este modelo, un bloque es un grupo de I unidades experimentales tan parecidas como sea posible con respecto a la variable B, asignándose aleatoriamente cada tratamiento a una unidad dentro de cada bloque.

Estimación de los parámetros Estimación de los parámetros. El número de parámetros que hay que estimar en modelo (5.1) es utilizando n = IJ observaciones hay que estimar un número de parámetros 1+(I-1)+(j-1)+1=I+j Se utiliza el método de mínimos cuadrados que se basa en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos (5.4) se obtienen los siguientes estimadores:

La suma de los residuos en cada fila y cada columna es cero, por tanto, hay I + J - 1 relaciones entre los IJ residuos y el número de grados de libertad es Razonando como en el modelo de diseño completamente aleatorizado se obtiene que el estimador de la varianza es la varianza residual

Propiedades de los estimadores Propiedades de los estimadores. La distribución de los estimadores anteriores es la siguiente,

Por tanto, los estimadores definidos son centrados y eficientes Por tanto, los estimadores definidos son centrados y eficientes. Utilizando las distribuciones anteriores (la t y la 2) se pueden calcular intervalos de confianza de los parámetros del modelo.

Análisis de un caso. Se desarrolla el problema presentado en el Ejemplo 5.1. cuyo enunciado más concreto es el siguiente, Ejemplo 5.1.b. “Una empresa fotográfica tiene que realizar una compra de impresoras de gran calidad que se van a utilizar en imprimir fotografías digitales. La empresa tiene ofertas de I = 5  marcas de impresoras de similares características y precio. Para la empresa fotográfica es muy importante la “velocidad de impresión” y, por este motivo, está interesada en saber si las 5 impresoras ofertadas tienen la misma velocidad o hay una que es más rápida. Para responder a esta pregunta decide hacer un experimento que consiste en elegir una única muestra de J = 4 fotos e imprimirlas en las 5 impresoras.

Los resultados del experimento se recogen en la tabla adjunta” Foto A Foto B Foto C Foto D Impresora 1 89 88 97 94 Impresora 2 84 77 92 79 Impresora 3 81 87 85 Impresora 4 Impresora 5 80

Estimación de los parámetros. Foto A Foto B Foto C Foto D i. i Impresora 1 89 88 97 94 92 6 Impresora 2 84 77 79 83 -3 Impresora 3 81 87 85 -1 Impresora 4 2 Impresora 5 80 82 -4 .j 86 j -2 3 .. = 86

predicciones F. A F. B F. C F. D I.1 90 91 95 92 I.2 81 82 86 83 I.3 84 88 85 I.4 87 I.5 80

residuos F. A F. B F. C F. D I.1 -1 -3 2 I.2 3 -5 6 -4 I.3 -2 I.4 1 5 I.4 1 5 I.5

La varianza residual es Intervalos de confianza. Intervalos de confianza al 90% para los parámetros del modelo son: Para б 2,

Trabajando al 90% se obtienen los siguientes grupos homogéneos de impresoras:       • Imp. 5 - Imp. 2 - Imp. 3       • Imp. 2 - Imp. 3 - Imp. 4       • Imp. 4 - Imp. 1

En conclusión, parece razonable aceptar la influencia del factor-tratamiento “tipo de impresora” y la no influencia del factor bloque  “tipo de foto”.  Se puede pasar facilmente al modelo completamente aleatorizado, la tabla  ANOVA con un solo factor que se obtiene de la anterior sumando las filas de scB y scR, obteniendo