Coordenadas en el espacio Vector de posición de P Origen de coordenadas (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia S.

Ejes coordenados. Planos coordenados Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

Coordenadas de un vector libre

Coordenadas del punto medio de un segmento

Determinación de una recta. Ecuación vectorial

Determinación de una recta. Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones de la recta en forma continua

Ecuaciones de los ejes en forma vectorial, paramétrica y continua

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (b1, b2, b3) La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A, AB) ó r(B, AB)  (a1, a2, a3) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )

Ecuación vectorial del plano Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano a.  X está en a si y solo si AX es combinación lineal de v y w. Por tanto existirán dos números reales s y t tales que: AX = s v + t w  Por tanto x – a = s v + t w  Y de aquí se obtiene la ecuación vectorial del plano: x = a + s v + t w, con s R y t R  Se observa además que X a  rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0 

Ecuaciones paramétricas y general del plano El desarrollo de este determinante conduce a la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0

Ecuaciones de los planos cartesianos

Ecuación normal del plano Sea M un punto cualquiera del plano a, y sea (A, B, C) un vector normal al plano. Un punto X(x, y, z) está en el plano si y sólo si ® n es perpendicular a MX Por tanto: . = 0 Û . ( x – m ) = 0 que es la ecuación normal del plano. Desarrollando la expresión anterior obtenemos: (A, B, C) . (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0 A( x – x1 ) + B(z – z1 ) + C(z – z1 ) = 0 o bien A x + B y + C z + D = 0 donde A, B, y C son las componentes del vector normal al plano

Ecuación del plano que pasa por tres puntos Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos.  La determinación lineal de dicho plano será: (a, b, c) (a", b", c") (a', b', c') X (x, y, z) Por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante:

Posiciones relativas de dos planos Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 3 Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema compatible indeterminado de rango 1 Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 1

Posiciones relativas de tres planos (I) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2a 2b Dos planos coincidentes y un tercero secante a ellos Triedro Tres planos distintos Los tres planos tienen un punto en común Los tres planos tienen una recta en común Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible Determinado de rango 3 Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 2 rango(A) = rango(B) = 3

Posiciones relativas de tres planos (II) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 3 4a 4b Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos Tres planos coincidentes Prisma Los tres planos tienen infinitos puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema compatible indeterminado de rango 1 Sistema incompatible Sistema incompatible rango(A) = rango(B) = 1 rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 2; rango(B) = 3

Posiciones relativas de tres planos (III) Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 5a 5b Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos Tres planos paralelos Los tres planos no tienen puntos en común Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible Sistema incompatible rango(A) = 1; rango(B) = 2 rango(A) = 1; rango(B) = 2

Ecuación de la recta como intersección de planos Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 dos planos no paralelos. Los puntos de la recta intersección son aquellos que verifican simultáneamente las ecuaciones de ambos planos. Por ello la ecuación de la recta r será: Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta es suficiente obtener la solución general del sistema indeterminado que forman las ecuaciones generales de los dos planos.

Posiciones relativas de una recta y un plano Sean p: ax + by + cz + d = 0 y y la recta r dada como intersección de p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p":a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2 rango(A) = 2; rango (B) = 3

Posiciones relativas de dos rectas (I) Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 1 2 Rectas secantes Rectas coincidentes Las dos rectas tienen un punto en común Las rectas tienen todos sus puntos comunes Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(A) = rango(B) = 3 rango(A) = rango(B) = 2

Posiciones relativas de dos rectas (II) Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0. Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. 3 4 Rectas paralelas Rectas que se cruzan Las rectas no tienen puntos en común Las rectas no tienen puntos en común Sistema incompatible Sistema incompatible rango(A) = 2; rango(B) = 3 rango(A) = 3; rango(B) = 4