SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PUNTO PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS ECUACIONES DE UNA RECTA POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS ECUACIONES DE UN PLANO.

Presentación del tema: "SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PUNTO PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS ECUACIONES DE UNA RECTA POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS ECUACIONES DE UN PLANO."— Transcripción de la presentación:

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2 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PUNTO PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS ECUACIONES DE UNA RECTA POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS ECUACIONES DE UN PLANO POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO Espacio Afín FIN

3 u1u1 u2u2 u3u3 o A X COORDENADAS DEL SIMÉTRICO DE A RESPECTO A X¿A’? OA’=OA+AA’ OA’=OA+2AX A’ OA’=OA+2(OX-OA) OA’=2OX-OA MENÚ

4 u1u1 u2u2 u3u3 o P M COORDENADAS DEL PTO MEDIO DE DOS PUNTOS P,Q¿M? OM=OP+PM OM=OP+1/2PQ Q OM=OP+1/2(OQ-OP) OM=1/2(OQ+OP) MENÚ

5 u1u1 u2u2 u3u3 o A v X ¿OX? OX=OA+AX OX=OA+t v ECUACIONES DE UNA RECTA

6 OX=OA+tv : Ecuac.Vectorial(x 1, x 2, x 3 )= (a 1, a 2, a 3 )+t (v 1, v 2, v 3 ) x 1 = a 1 +t v 1 x 2 = a 2 +t v 2 x 3 = a 3 +t v 3 :Ecuac. Paramétricas t= x 1 - a 1 v 1 t= x 2 – a 2 v 2 t= x 3 – a 3 v 3 x 1 - a 1 = x 2 – a 2 = x 3 – a 3 V 1 v 2 v 3 :Ecuac. Continua Ax+By+Cz-D=0 A’x+B’y+C’z+D=0 ECUACIONES DE UNA RECTA

7 PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.- Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos dados 2.- Condiciones de incidencia punto recta 3.- Condiciones para que tres puntos estén alineados MENÚ

8 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS SE CRUZAN SON PARALELAS SE CORTANCOINCIDENTES

9 POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS x 1 = a 1 +t v 1 x 2 = a 2 +t v 2 x 3 = a 3 +t v 3 r x 1 = a’ 1 +s v’ 1 x 2 = a’ 2 +s v’ 2 x 3 = a’ 3 +s v’ 3 r’ a 1 +t v 1 = a’ 1 +s v’ 1 a 2 +t v 2 = a’ 2 +s v’ 2 a 3 +t v 3 = a’ 3 +s v’ 3 t v 1 -s v’ 1 = a’ 1 -a 1 t v 2 -s v’ 2 = a’ 2 -a 2 t v 3 -s v’ 3 = a’ 3 -a 3 v 1 v’ 1 v 2 v’ 2 v 3 v’ 3 M= Rango M= 2 Rango M’= 3 Se cruzan 2 Se cortan 1 Rango M’= 2 1 Paralelas Coincidentes MENÚ

10 u1u1 u2u2 u3u3 o A X ECUACIONES DE UN PLANO OX=OA+AX AX=t u+ s v OX=OA+ t u+ sv v u

11 OX=OA+tu+sv: Ecuac.Vectorial (x 1, x 2, x 3 )= (a 1, a 2, a 3 )+t (u 1, u 2, u 3 )+ s (v 1, v 2, v 3 ) x 1 = a 1 +t u 1 +s v 1 x 2 = a 2 +t u 2 +s v 2 x 3 = a 3 +t u 3 +s v 3 :Ecuac. Paramétricas x 1 - a 1 u 1 v 1 x 2 – a 2 u 2 v 2 x 3 – a 3 u 3 v 3 Ax+By+Cz+D=0 =0 :Ecuac. General

12 u1u1 u2u2 u3u3 o A X ECUACIÓN NORMAL DE UN PLANO n AX= 0 n (OX-OA)=0n Si sup. Una base ortonormal: n 1 (x-a 1 )+ n 2 (y-a 2 )+ n 3 (z-a 3 )=0 n 1 x+ n 2 y+ n 3 z+(-n 1 a 1 -n 2 a 2 -n 3 a 3 )=0 Ax+By+Cz+D=0

13 PROBLEMAS PROPUESTOS: 1.- Determinar las ecuaciones del plano determinado por tres puntos no alineados 2.- Condiciones de incidencia punto plano 3.- Condiciones para que cuatro puntos sean coplanarios

14 u1u1 u2u2 u3u3 o A X ECUACIÓN DE UN PLANO POR 3 PTOSOX=OA+AX AX=t AB+ s AC OX=OA+ t AB+ sAC B C MENÚ

15 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

16  : Ax+By+Cz+D=0  : A’x+B’y+C’z+D’=0 M= A B C A’ B’ C’ M’= Rango M= 2 Rango M’=2Se cortan 1 Rango M’= 2 1 Paralelos Coincidentes A B C D A’ B’ C’ D’ MENÚ

17 POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO x= a 1 +t v 1 y= a 2 +t v 2 z= a 3 +t v 3 r Ax+By+Cz+D= 0 n=(A,B,C)  Distinto de 0Se cortan 0 Paralelas Contenida v.n= A A pertenece a  A no pertenece a  A MENÚ.n v v v

18  : Ax+By+Cz+D=0  : A’x+B’y+C’z+D’=0 M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’  A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0 POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

19 Rango M= 3 2 I Rango M’=3 Rango M’=2 Rango M’=1

20 Rango M=3 Se cortan en un pto

21 Rango M=2 Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ 32 El sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad

22 Rango M=2Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto Dos planos paralelos y uno secante Secantes dos a dos 3

23 Rango M=2Rango M’= M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ 2 El sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad

24 Rango M=1 Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto M= M’= A B C A’ B’ C’ A’’ B’’ C’’ A B C D A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ 21 El sistema es compatible indeterminado con 2 grado de libertad

25 Rango M=1Rango M’= El sistema no tiene solución, luego los tres planos no se cortan en un mismo punto Tres planos paralelos Dos planos paralelos y un coincidente 2

26 Rango M=1Rango M’= El sistema tiene solución, con dos grados de libertad Tres planos coincidentes 1

27 HAZ DE PLANOS POR UNA RECTA r= Ax+By+Cz+D=0 A’x+B’y+C’z+D’=0 Ax+By+Cz+D=0 A’x+B’y+C’z+D=0 A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0 El sistema tiene solución con un grado de libertad. A’’x+B’’y+C’’z+D’’=0 Es combinación lineal de las otras dos A’’x+B’’y+C’’z+D’’=  Ax+By+Cz+D)+  A’x+B’y+C’z+D’)=0 MENÚ

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