Apuntes 2º Bachillerato C.T. SUMA DE MATRICES TEMA 3.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. PROPIEDADES Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. Es conmutativa: A+B = B+A Tiene elemento neutro (La matriz nula). Toda matriz tiene su matriz opuesta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

SUMA DE MATRICES OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 1+1 2+4 3+7 = 4+2 5+5 6+8 7+3 8+6 9+9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 2 6 10 = 6 10 14 10 14 18 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. PROPIEDADES Es distributiva respecto a la suma de matrices: k.(A+B)=k.A+k.B Es distributiva respecto a la suma de escalas: (k1+k2).A=k1.A+k2.A Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A Tiene elemento unidad: 1.A = A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PRODUCTO DE k.A 1 4 7 . 2 5 8 3 6 9 k 4k 7k = 2k 5k 8k 3k 6k 9k k . A = k 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10 (-2) . A = (-2) . @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p , n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. t t t (A.B)=B . A t t t (A+B) =A + B t t (k.A) =k. A @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos (At)t = A Sea A = 2 -1 3 -1 2 4 At = 2 -1 -1 2 3 4 (At)t = 2 -1 3 -1 2 4 Vemos que se cumple dicha propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos (A.B) t = B t . A t -3 Sea A = 2 -1 3 y B = 5 2 A.B = 2.(-3)+ (-1).5+3.2 = - 5 (A.B) t = - 5 B t . A t = -3 5 2 . - 1 = -3.2 + 5.(-1)+2.3 = -5 3 Vemos que se cumple la propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos (A+B) t = A t + B t Sea A = 2 -1 y B = 5 - 3 3 4 1 6 A+B = 2+5 -1-3 = 7 - 4 (A+B) t = 7 4 3+1 4+6 4 10 - 4 10 At = 2 3 y Bt = 5 1 -1 4 -3 6 At + Bt = 2+5 3+1 = 7 4 -1-3 4+6 -4 10 Vemos que se cumple la propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos (k.A)t =k. At Sea A = 2 -5 7 y k = 3 -1 6 4 6 - 3 k.A = 3.A = 6 -15 21  (3.A)t = -15 18 -3 18 12 21 12 2 -1 6 -3 k. At = 3.At = 3 . -5 6 = -15 18 7 4 21 12 Vemos que se cumple dicha propiedad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.