MATEMÁTICAS FINANCIERAS

SISTEMA FINANCIERO Dentro de las finanzas encontramos el Sistema Financiero entendido como “aquel que permite transacciones de dinero entre inversionistas y prestatarios de una economía y que comprende todas las instituciones y mecanismos que las promueven y regulan”. Para entender qué es el Sistema Financiero hay que empezar por decir que en toda economía hay personas, naturales o jurídicas, con exceso de liquidez y otros con déficit de liquidez. Preparado por Gilberto Valencia Trujillo

ESQUEMA BÁSICO DEL SISTEMA FINANCIERO INTERMEDIARIOS FINANCIEROS Bancos, Corporaciones A y V., Corporaciones Financieras Cías de Fin. Comercial, Cooperativas. Financiación Indirecta - Rentabilidad - Riesgo Tasas de captación (tasa pasiva) Tasas de Colocación (tasa activa) Cuentas de ahorro, corrientes, CDTs, Pagarés, sobregiros, Contratos, Hipotecas, Tarjetas de Crédito SUPERINTENDENCIA FINANCIERA AHORRADORES Personas, Empresas Gobierno Carteras colectivas INVERSIONISTAS PRESTATARIOS Personas, Empresas Gobierno EMISORES MERCADO DE VALORES Bolsa de Valores, firmas comisionistas, mesas de dinero, Mercado OTC. Aceptaciones financieras Cert. Cambio + Rentabilidad + Riesgo Financiación directa TES Tit. Participación Bonos y papeles comerciales CERTs Pagarés y contratos Titularización Acciones Cheques Facturas

ELEMENTOS DEL SISTEMA FINANCIERO ACTIVOS: Son todos aquellos bienes que están en poder de personas o empresas y que permiten la obtención de beneficios económicos. (todas las empresas que generan utilidades necesariamente no son rentables.

ELEMENTOS DEL SISTEMA FINANCIERO Los activos se dividen en dos: activos reales (edificios, good will) y activos financieros (papeles) se encuentran en mercado primario y secundario , estos se dividen en mercados de dinero ( corto plazo) y mercados de capital (largo plazo).

INVERSIÓN Proceso mediante el cual una persona asigna unos recursos HOY con la esperanza (se traduce en certeza o incertidumbre) de que MAÑANA me devuelvan lo que invertí más un beneficio. Éste depende de la inversión que se haga: CDT, Acciones. En toda inversión hay un sacrificio con el propósito de recibir en un futuro un beneficio

INVERSIONISTA Es quien realiza el acto de invertir.

¿CUÁL ES EL PERFIL DEL CLIENTE? Agresivo Moderado Agresivo Moderado Conservador Moderado Rendimiento Conservador Nivel de riesgo 40

PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA Rentabilidad (CUIDADO): Entendida como la variación porcentual del capital invertido en un plazo establecido.(siempre expresada en porcentaje) Beneficio financiero asociado a una inversión. Incluye valorización y rendimientos Permite comparar inversiones comparando sus rentabilidades La diferencia monetaria entre la inversión inicial y el monto final obtenido la definimos como UTILIDAD

PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA Riesgo: Probabilidad de obtener en una inversión una rentabilidad inferior a la esperada, e incluso perder un porcentaje del capital invertido. Siempre está latente en cualquier inversión. Existen inversiones con más riesgo que otras. (CDT vs Acciones). La percepción de riesgo es diferente para cada persona.

PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA Riesgo (Continuación) Clasificación: Diversificable ( no sistemático) Afecta un solo sector de la economía Se logra controlar con la diversificación No Diversificable ( Sistemático) Afecta toda la economía

Riesgo no sistemático: EL RIESGO SE DIVIDE EN: Riesgo no sistemático: Riesgo de incumplimiento Riesgo de moneda Riesgo de sector Riesgo de mercado: Posibilidad de que todo el mercado accionario se mueva al alza o la baja como consecuencias que de factores que afecten la economía general. Factores fundamentales que afectan toda la economía en general. Riesgo de tasa de interés: Es el riesgo de las tasas de interés en el mercado. Cuando sube baja y cuando baja sube Riesgo país: Riesgo que se incumplan los pagos por un golpe de estado, maten al presidente. Riesgo de incumplimiento: Riesgo de que un deudor o el emisor de un papel no cumplan con los pagos. Riesgo de moneda: Es el riesgo que afecta a los inversionistas en moneda extranjera. Riesgo de Reinversión: no se cumplan con las nuevas tasas no sean las mismas. CDT.

EL RIESGO SE DIVIDE EN: Riesgo sistemático: Riesgo de mercado Riesgo de tasa de interés Riesgo país Riesgo de reinversión. Riesgo de inflación Riesgo de mercado: Posibilidad de que todo el mercado accionario se mueva al alza o la baja como consecuencias que de factores que afecten la economía general. Factores fundamentales que afectan toda la economía en general. Riesgo de tasa de interés: Es el riesgo de las tasas de interés en el mercado. Cuando sube baja y cuando baja sube Riesgo país: Riesgo que se incumplan los pagos por un golpe de estado, maten al presidente. Riesgo de incumplimiento: Riesgo de que un deudor o el emisor de un papel no cumplan con los pagos. Riesgo de moneda: Es el riesgo que afecta a los inversionistas en moneda extranjera. Riesgo de Reinversión: no se cumplan con las nuevas tasas no sean las mismas. CDT.

PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA Una forma de minimizar el riesgo es diversificando: (funciona sólo en los no sistemáticos) SUGERENCIA: Constituya portafolios de inversión y así disminuirá su riesgo.

¿QUÉ ES UN PORTAFOLIO DE INVERSIÓN? Una combinación de activos financieros poseídos por una persona natural o jurídica. Un portafolio de inversión es diversificado cuando en el conjunto de activos se combinan títulos con rentabilidades, emisores, modalidades de pago de intereses y riesgos diferentes 3

EL RETO Aumentar la rentabilidad Disminuir el Riesgo 31

PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA Para una empresa, la liquidez, se entiende como la capacidad que tiene esta para generar efectivo a corto plazo, con el fin de cumplir con los compromisos de corto plazo. PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA Liquidez : Hace referencia a la rapidez con la que un inversionista recibe utilidades de su inversión, puede entenderse de dos maneras: Rapidez con la que una inversión entrega dinero en efectivo al inversionista Es la facilidad de vender la inversión en corto tiempo. REFLEXIÓN El inversionista racional busca inversiones con alta rentabilidad, bajo riesgo y líquidas. Esa combinación es la ideal, lo difícil es encontrarla Las empresas pueden estar solidas más no liquidas

PREOCUPACIONES DEL INVERSIONISTA EJEMPLO Rentabilidad: La cría de la vaca. Riesgo: que se roben ó se muera la vaca. Liquidez: la leche (diaria) de la vaca

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES 1)VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Un peso de hoy tiene más valor que un peso de mañana

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Supongamos que un familiar suyo lo aprecia mucho, por tal motivo le quiere regalar un millón pesos y le propone dos opciones: entregárselos hoy o dárselos dentro de un año. ¿Cuál opción escogería usted?

Todos sabemos que hoy!!!, ¿pero porqué? La respuesta es obvia!!! Todos sabemos que hoy!!!, ¿pero porqué? Dentro de un año con el millón de pesos no puedo comprar lo mismo que compro hoy. Si tengo el millón de pesos, lo puedo invertir a una tasa de interés y obtener más dinero. Mejor recibo esa plata ahora, no sea que mi tío no la tenga no la tenga dentro de un año (… o se muera… o se arrepienta).

Veamos cuando se utilice en el mundo financiero

INFLACIÓN - DEFLACIÓN Elevación del nivel general de los precios, ello implica perdida del poder adquisitivo. Por lo tanto el dinero se desvaloriza debido a la inflación. Para cualquier inversionista es fundamental considerar la inflación que se producirá en el período de su inversión, ya que esta inflación deteriora la capacidad de compra del valor futuro que obtendrá. INTERÉS REAL.

DEVALUACIÓN - REVALUACIÓN Perdida o aumento del valor de una una moneda con respecto a otra. La devaluación estimula las exportaciones y desestimula las importaciones ¿por qué?

DEVALUACIÓN - REVALUACIÓN 1 Si la TC1 > TC0 Hay Devaluación Si la TC1 < TC0 Hay Revaluación

INTERÉS El interés es el pago que se hace por el uso del dinero de un capital (que se presta o se lo prestan, o que se aporta), en un tiempo determinado Cantidad de dinero que excede a lo prestado o invertido. SIMBOLO DEL INTERÉS ( I): Interés = Monto pagado – Valor del préstamo Interés = Monto recuperado - Inversión

TASA DE INTERÉS Parte proporcional expresada como porcentaje que el dueño del capital cobra a quien lo utiliza por el servicio prestado en un plazo dado.

INTERÉS Y TASA DE INTERÉS 1) se invirtieron $10´000.000 el 17 de mayo y se retira un total de $10´600.000 un año después. Calcular el interés ganado sobre la inversión inicial y la tasa de interés o rendimiento de la inversión. Solución: interés = 10´600.000 - 10´000.000 = $ 600.000 * 100% = 6 % anual 600.000 por año 10´000.000 Tasa de interés =

El valor del dinero en el tiempo debe tener en cuenta: El riesgo: Posibilidad de no obtener la utilidad la utilidad esperada en una inversión o aun perder el capital invertido. Es mejor pájaro en mano que ciento volando. El costo de oportunidad: La rentabilidad que se deja de percibir al excluir una alternativa de inversión y elegir otra con similares características.

Retomando la definición del interés como el pago que se hace por el uso del dinero en el tiempo, tenemos que el interés, ADEMÁS, debe compensar los tres factores: la inflación, el costo de oportunidad y el riesgo. Ejemplo Usted tiene un millón de pesos y decide prestarle la plata, por un año, a una tía suya que comercia con oro y que le dice que le reconocerá el 25% anual. Suponga una inflación del 7.75% EA, el banco le reconoce el 3% anual, CDT le ofrece 10% EA. No necesita el dinero hasta dentro de un año. (liquidez)

ANALICEMOS ESTE EJEMPO A LA LUZ DE LOS TRES ELEMENTOS Inflación: 25% EA - 7.50% EA = 17,50% EA (Tía) 10% EA - 7.50% EA = 2,50% EA (CDT) 3% EA - 7.50% EA= - 4.50% EA (Banco) Costo de oportunidad: 25% EA> 10% EA> 3% EA Riesgo: a mayor riesgo se debe buscar más tasa. (ojo con las tasas altas) donde la normal es la tasa más baja. De eso tan buen no dan tanto. Indagar, buscar información.

$ Q0 1 Interés: i % $ Q1 2) PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Dos cantidades de dinero ubicadas en diferentes momentos en el tiempo son equivalentes si al trasladarlas al mismo momento, se hacen iguales en magnitud. $ Q0 $ Q1 Interés: i % 1 $ Qo y $ Q1 son equivalentes a una tasa de interés i %.

ENUNCIADO $100.000 hoy son equivalentes a $120.000 dentro de un año a una tasa del 20% anual. $100.000 $120.000 20% AV 1 año =

3) PRINCIPIO LA RACIONALIDAD FINANCIERA DE LOS AGENTES Las personas y los agentes económicos siempre buscarán maximizar beneficios y reducir costos para un nivel de riesgo dado Si se tiene disponible una cantidad de dinero, existe la posibilidad de encontrar en el mercado financiero una tasa de interés mayor que la inflación (tasa real positiva).

CARACTERÍSTISCAS DE LOS MERCADOS ACTUALES Volatilidad : Inestabilidad en tasas de interés. Desintermediación: Buscar reducir costos. Globalización: Noticias inmediatas. Tasa de oportunidad: Decisión de tomar una u otra alternativa. Se busca la que se cree que es mejor.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS DEFINICIÓN: Conceptos y técnicas matemáticas aplicadas en el análisis, comparación y evaluación financiera de proyectos. Es una herramienta de decisión por medio de la cual se podrá escoger una alternativa entre varias como la más económica de todas.

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Es un rama de las matemáticas que se apoya en la aritmética. (ecuaciones de primer grado, potenciación radicación y logaritmos).

SÍMBOLOS Y SIGNIFICADOS Cada autor maneja sus propios símbolos, por eso vamos a poner en la mesa un lenguaje común. Línea de tiempo Periodos y subperiodos (calendario 365 -360) Final del periodo 3 principio del 4 Ingresos – egresos (principio - final) Convenciones (vp, vf, n, i, pago) Final del periodo 1, principio del 2 Final del periodo 4 principio del 5 vf Principio del periodo 1 n vp i

SÍMBOLOS Y SIGNIFICADOS CARACTERÍSTICAS Todo el conjunto se llama Flujo de caja Principio y final del período No se pueden restar o sumar valores que no estén en el mismo período, para poder hacerlo se utilizarán herramientas matemáticas que son objeto del curso.

FLUJO DE CAJA 150 105 20% EA 4 años $100 100

FLUJO DE CAJA 50 105 20% EA 4 años $100

INTERÉS SIMPLE Los intereses no se capitalizan. Se calculan con base en la inversión inicial o el saldo insoluto. CARACTERISTICAS DEL INTERÉS SIMPLE: El capital permanece constante (insoluto) La tasa de interés siempre es la misma Los intereses calculados siempre son los mismos

INTERÉS SIMPLE F3 F4 F1 F2 $20 $20 $20 $20 20% EA Años $100 $100 $100 $120 $140 $160 $180 $100

INTERÉS SIMPLE Fn = P(1+ni) F4 = P + 4 P i F1 F2 F3 F4 Pi Pi P i P i i P + P i + P i P + P i + P i + P i P + P i + P i+ P i + P i P + Pi P + 2 P i P + 3 P i P + 4 P i Fn = P(1+ni) F4 = P + 4 P i ENTONCES

INTERÉS SIMPLE 2) se prestan $1.000 al 14 % anual, por 12 años ¿Cuánto dinero se debe al cabo de tres años si se utiliza interés simple?. 1.000 Solución: F = P(1+(ni)) F3 = $1.000 (1 + (3x 0.14)) F3 = $1.420 Se debe al cabo de 3 años $1.420 14% ANUAL 12 AÑOS 3 AÑOS 1.420 ?

FACTORES DE PAGO ÚNICO INTERÉS SIMPLE VFn = VP ( 1 + ni) Encuentra el valor futuro VP = VF . (1 +( n x i)) Encuentra el valor presente i = VF -1 x 1 VP n Encuentra la tasa de interés n = VF -1 x 1 VP i Encuentra el número de períodos

INTERÉS COMPUESTO Se calcula con base en el saldo al principio del período. Los intereses generan intereses, es decir, se capitalizan. Capitalización Período de capitalización Período de pago Anatocismo

INTERÉS COMPUESTO $20 $24 $28,8 $34,56 20% EA Años $100 $120 $144 $172,80 $207,36 $207,36 $120 $144 $172,80 $100

INTERÉS COMPUESTO F4 = P(1+i)4 Fn = P(1+i)n F1 F2 F3 F4 Pi P(1 + i) i ( P+ Pi) P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i P(1 + i) P(1 + i)2 P(1 + i)3 P(1 + i)4 F4 = P(1+i)4 Fn = P(1+i)n ENTONCES

INTERÉS COMPUESTO F4 = P(1+i)4 = P (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) F1 F2 F3 F4 ( P+ Pi) P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i P(1+i) 2+ P(1 + i)2 i P(1 + i) P(1 + i)2 P(1 + i)3 P(1 + i)4 F4 = P(1+i)4 = P (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

Fórmula F = P(1+i )n INTERÉS COMPUESTO CARACTERÍSTICAS DEL INTERÉS COMPUESTO: El capital inicial cambia cada período por efecto de la capitalización de los intereses La tasa de interés es igual para cada período Los intereses ($I) calculados son diferentes para cada período Fórmula Factor que nos permite calcular la equivalencia entre dos cantidades ubicadas en diferentes momentos. F es equivalente a P a una tasa de interés i % (1+ i)n Es conocido como factor de capitalización F = P(1+i )n

INTERÉS COMPUESTO Teniendo vp ,i , n puedo conseguir vf 207,3600 20% EA 4 años $100 Teniendo vp ,i , n puedo conseguir vf

INTERÉS COMPUESTO Esta fórmula tiene cuatro variables A partir de esta fórmula, se pueden despejar las otras tres.

INTERÉS COMPUESTO Si tengo vf , n, i puedo conseguir vp 207,3600 20% EA 4 años $100 Si tengo vf , n, i puedo conseguir vp

INTERÉS COMPUESTO Si tengo vf , vp, i puedo conseguir n 207,3600 20% EA 4 años $100 Si tengo vf , vp, i puedo conseguir n

INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO Si tengo vf , vp, i puedo conseguir n 207,3600 20% EA 4 años $100 Si tengo vf , vp, i puedo conseguir n

INTERÉS COMPUESTO Si tengo vf , vp, n puedo conseguir i 207,3600 20% EA 4 años $100 Si tengo vf , vp, n puedo conseguir i

INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO Si tengo vf , vp, n puedo conseguir i 207,3600 20% EA 4 años $100 Si tengo vf , vp, n puedo conseguir i

FACTORES DE PAGO ÚNICO INTERÉS COMPUESTO Si se desconoce el valor futuro: Si se desconoce el valor presente: Si se desconoce la i: Si se desconoce la n:

INTERÉS SIMPLE VS COMPUESTO

BIBLIOGRAFÍA Agudelo, Diego; Fernández, Andrés. Elementos básicos de matemáticas financieras. 2001. Documento Guía. Esquema Básico. Adaptación acetatos curso ingeniería económica de Universidad de Antioquia. Adaptación de guía elaborada por el profesor Gilberto Valencia T. (Universidad EAFIT). Baca Currea, Guillermo. Ingeniería económica, 2007. Octava edición. Fondo Educativo panamericano