NÚMEROS REALES Luis Figueroa S.

NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES R Formado por: I. Números Naturales: N = {1,2,3,..∞+} II. Números Enteros: z = {-∞,…,-2,-1,0,1,2,..,∞+} III. Números Racionales: Q = {x/x = m/n; m y n son números enteros, donde m≠o} IV. Números Irracionales: I = {x/x es representado por un decimal no periódico} V. Números Reales: R = {x/x Q ó I} VI. Números Complejos: C = {x/x a + bi; donde: a, b son R y i = √-1}

Definición: Llamaremos sistema de números reales a un conjunto R, consta de 2 operaciones: adición (a+b) y multiplicación (a.b) “Leyes de composición interna”, y una relación de orden denotado por “<” y el axioma del supremo.

1º Ley de Composición Interna Además debe cumplir los siguientes axiomas: Cerradura: V a,b E R a+b E R Conmutativa: a+b=b+a ; V a,b E R Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) ; V a,b,c E R Identidad Aditiva: a+0=0+a=a V a E R, 0 E R Opuesto Aditivo: a+(-a)=(-a)+a=0, y es único tal que V a E R , -a E R T: R x R R (a, b) + (a,b) = a+b

2º Ley de Composición Interna R x R R (a,b) a.b Además de los siguientes axiomas: Cerradura: V a, b E R => a.b E R Conmutativa: a.b = b.a V a, b E R Asociativa: ( a. b) .c = a ( b . c) ;V a, b, c E R

TEOREMAS TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADCION Si a=b entonces a+c=b+c, para todo a,b,c  R TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACION Si a=b entonces a.c=b.c, para todo a,b,c R TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA ADICION Sean a,b,c R; Si a+c=b+c entonces a=b TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION Sean a,b,c R; Si a.c=b.c y c0, entonces a=b

SUSTRACION DE NÚMEROS REALES Para cualquier números reales a,b  R, definiremos a la sustración de números reales por: a-b=a+(-b) DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES Para cualquier números reales a,b  R donde b  0, definiremos al cociente de números reales por: a/b=a.b-1

DESIGUALDADES La correspondencia entre los números reales y los puntos de un a recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales La relación a<b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al numero “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”. I) Un número real “a” es positivo si, a>0 II) Un número real “a” es negativo si, a<0

AXIOMAS DE LA REALCION ORDEN  a,b,c  R, se tiene O1.- Orden de tricotomia: una y solo una de las siguientes posibilidades se cumple: a=b  a<b  a>b O2.- Orden transitivo: si a<b  b<c  a<c O3.- Orden de adición: si a<b  a+c<b+c O4.- Orden Multiplicativo: si a<b y c>0 a.c<b.c