ECUACIÓN LINEAL Cálculo de la pendiente de una recta kairoseduca.jimdo.com

Ecuación de la recta Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a,b,c  R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. y  - x  4 1 -1 2 3 4 5  L x y Ejemplo Nº1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores Gráfico X Y (x, y) 2 (2, 2) 1 3 (1, 3) 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5) Observaciones: A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación.

Ecuación Principal de la Recta Ejemplo: Sea L2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2x – y – 1 = 0 Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal. Ecuación General 2x – y- 1 = 0 Despejemos “y” en términos de “x” - y = - 2x + 1 Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo -Y :-1 = (-2x + 1):-1 Nos queda Y = 2x – 1 se llama Ecuación principal de la recta. Donde: m = 2 n= -1 Importante Tiene la forma y= mx + n y se llama ecuación principal de la recta donde m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) y n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y.

¿Qué es la Pendiente en una recta? 10.060.209-1 Pero ¿Qué son m y n ? En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1) x y 1 2 3 ¿Qué es la Pendiente en una recta? ¿Dónde se aplica la Pendiente de una recta? ¿Para qué sirve la Pendiente de una recta?

ENTONCES CONCLUYENDO Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir: (x2 , y2) y2 – y1 y2 – y1 m = x2 – x1 (x1 , y1) x2 – x1 kairoseduca.jimdo.com

Cálculo de la pendiente de una recta Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2). 0 x y P2(x2; y2) y=y2 - y1 P1(x1;y1) x=x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1 m =

Ejemplo 1 Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14) x1 y1 x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 12 y2 – y1 14 – 2 m = = = = 6 2 x2 – x1 9 – 7 Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca.jimdo.com

Ejemplo 2 Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3) x1 y1 x2 y2 Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 -4 y2 – y1 -3 – 1 -2 m = = = = 14 x2 – x1 7 9 – (-5) Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca.jimdo.com

Ejemplo 3 Encuentre la pendiente de la recta graficada en el siguiente plano: En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta (0,4) ( 0 , 4 ) y ( 5 , 0) x1 y1 x2 y2 (5,0) Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2 y2 – y1 0 – 4 -4 m = = = x2 – x1 5 5 – 0 Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca.jimdo.com

Ejemplos Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos: A(-6; 1) y B(1; 2) C(-1; 4) y D(3; 1) E(3; 2) y F(8; 2) G(2; 1) y H(2; -3)

VERIFICAMOS LO OBTENIDO y mCD = -3/4 mAB = 1/7 mEF = 0 x mGH = ¿?

E J E R C I C I O S I) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A) (3 , -6) y (-2 , -2) B) (7 , -9) y (0 , -1) C) (-3 , -4) y el origen D) (3 , -4) y ( 2 , -6) II) Encuentre la pendiente de la recta graficada en los siguientes planos: A) B) kairoseduca.jimdo.com

Conclusiones Si m>0 la recta l es creciente Si m<0 la recta l es decreciente Toda recta horizontal tiene m = 0 Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

Ejemplo: Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un amigo en $26 000.Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio de venta del automóvil y el año en que se vendió. Determine e interprete la pendiente.

y - y1 = m(x - x1) (x1, y1) Ecuación de la recta 1. La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es: X Y y - y1 = m(x - x1) (x1, y1)

y = mx + b b Y X Ecuación de la recta 2. La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es: X Y b y = mx + b

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Ecuación de la recta 3. ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA La gráfica de una ecuación lineal: Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. Ax + By + C = 0

Ejercicios: (Prob 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3. 2. (Prob 13) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4). 3. (Prob 30) Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3. 4. (Prob 15) Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

y = b x = a RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL recta recta // ecuación horizontal al eje X y = b a b y = b x = a recta recta // ecuación vertical al eje Y x = a

Formas de la ecuación de una recta: En resumen: Formas de la ecuación de una recta: Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1) Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen Forma general Ax + By + C = 0 Recta vertical x = a Recta horizontal y = b

Rectas paralelas Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma pendiente o si ambas son verticales . Es decir: m1 = m2

Rectas perpendiculares Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Es decir: Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí. m1 . m2 = -1

Ejercicios: Determine la ecuación de la recta que satisfaga: (Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.

Ejercicios: Problemas de la pag. 134 -135: 11, 15, 32, 49, 58, 59, 62. PC1 UPC 2006-1: Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y es perpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C? PC1 UPC 2006-2: ¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?

WEBGRAFÍA Adaptado de: www.salesianosalameda.cl beta.upc.edu.pe/matematica/.../Clase%202.... kairoseduca.jimdo.com