8.3.- APROXIMACIOIN DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL A LA NORMAL Si la x se distribuye como una distribución binomial b(x;n,p), cuando n aumenta sin restricción y p es moderado (n > 30 y 0.1 < p < 0.9) talque np sea constante; entonces b(x;n,p) se aproxima a una distribución normal con media np y varianza npq. Lím b(x;n,p) = n(x; np, np(1-p)) = n(x; μ, σ² ) n→ ∞ 0.1 < p < 0.9 donde μ = np , σ² = np(1 –p) Como en b(x;n,p); x es el valor de una v.a. discreta y en n(x;u, σ² ); x es el valor de una v.a. continua, se introduce el factor de corrección de continuidad, que consiste en agregar ½ el límite superior o quitar ½ el inferior; esto es:

P( x1≤ x ≤ x2 )= Donde z1 = ¿Cuál es l probabilidad de conseguir de 210 a 220 caras en 400 lanzamientos de una moneda no sesgada?

APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION DE POISSON A LA DISTRIBUCION NORMAL Si x1, x2, …..xn son variables aleatorias independientes de Poisson cada una con parámetro λ ,entonces : X= Σ x i Es una variable aleatoria de Poisson con parámetros nλ entonces por el teorema Central del Limite la variable aleatoria

Tiene aproximadamente una distribución normal (0,1) para n suficientemente grande . La aproximación de la distribución de Poisson a La Normal se mejora conforme aumenta el valor de parámetro n λ, de la suma. En la practica se considera una aproximación buena, cuando n λ es mayor que 5. Como la dist. Normal es continua y la dist. De Poisson discreta, se debe usar el factor de corrección por continuidad.

Ejemplo 1 El numero de vehículos que llegan por minuto a la Caseta de peaje de ua determinada autopista tiene una distribución de Poisson con media µ= 2.5. Determinar la probabilidad que en cualquier periodo dado de 10 minutos. a) Lleguen no más de 20 vehículos b) lleguen entre 20 y 30 vehículos inclusive

SOLUCION Sea X una variable aleatoria de Poisson X= x1+x2+x3……..x10 donde X es el numero de vehículos que llegan por minuto : X → P(nλ, nλ ) donde nλ= 2.5*10 ≥5 entonces la dist. De Poisson se puede aproximar a la distribución Normal σ= √25=5 P( X ≤ 20) = P( X ≤20.5)

= F(-0.9) = 0.184 b) P( 20 ≤ X ≤ 30) = F(1.1)- F(-1.1) = 0.7287

Ejemplo 2 Las llamadas telefónicas que se reciben en un conmutador de una industria llegan como eventos de un proceso de Poisson a razon de 120 por hora . ¿ cual es la probabilidad que entren entre 110 y 125 llamadas inclusive entre las 9 y las 10 a.m. De cualquier dia? Rsp. =0.5230

DISTRIBUCIÓN 2 ( CHI –CUADRAD0 Es un caso especial muy importante de la distribución Gama, y se obtiene haciendo  = v/2 y  = v/2 , donde v es un entero positivo obteniéndose una familia de distribuciones de un paràmento con función de densidad dado por: f(2 ) = 1 (2 ) v/2 -1 e (- 2)/2 ; 2 > 0 2v/2  (v/2) Una variable 2 que tiene su función de densidad como la anterior se dice que es una distribución Chi-cuadrado con V grados de libertad denotado por 2(v) .

ESPERAZA Y VARIANZA E[2] = v , y V[2 ] = 2 v La distribución Chi-cuadrado tiene muchas aplicaciones importantes en inferencia estadística; debido a su importancia esta graficado para diversos valores del parámetro n , por lo tanto podemos encontrar el valor de 02 que satisface a la probabilidad : P( 2  2  ) =  y 0 <  < 1 donde 2 = (n-1) s2 2 cuyos valores de los percentiles se encuentran tabulados en una tabla al final de los textos de estadística .

Como no existe simetría , las tablas presentan los valores acumulados desde 2 = 0 hasta 2 =  : Se presentan básicamente dos tipos de problemas :

A) Dados 1-  y V . encontrar 20 Ejemplo: Si 1-  = 0.995 y v = 10 entonces 20 = 2 0.995 (10) = 25.2 Si 1-  = 0.005 y v = 2 entonces 20 = 2 0.005 (2) = 0.01

B) Dados  20 y V , encontrar 1-  Ejemplo: 1) Si 20 = 23.2 y v = 10 entonces 1-  = P( 2  23.29 )= F(23.2) =0.99 2) Si 20 = 10.6 y v = 2 entonces 1-  = P( 2  23.2) = F(10.6) =0.995 Si los valores no se encuentran en la tabla, se acude a la interpolación lineal o se escoge el valor más próximo

DISTRIBUCIÓN “ T “ DE STUDENTS Sea Z una variable aleatoria normal estándar y V una variable aleatoria chi - cuadrado con v grados de libertad. Si Z y V son independientes entonces la distribución de la variable aleatoria T dado por : tiene la siguiente función de densidad

h(t) = ( ( v+1)/2) ( 1 + t2/v )- (v+1)/2 ; -  t   Tiene una distribución t con v grados de libertad el valor de la integral :   f (t ) dt = 1 -  - 

1) Gráfico de la distribución para diferentes valores de v CARACTERÍSTICAS 1) Gráfico de la distribución para diferentes valores de v Tiene una forma acampanada, simétrica con respecto al eje de las ordenadas y asintótica al eje de las abscisas

Está por debajo de la curva normal estándar ( platicúrtica), si v crece esto es Lim f( t; v) = Normal Estándar v   En algunos textos t se calcula a partir de t = x -  donde s es la desviación estándar de la muestra. s/(n –1 )1/2 Donde t es una v.a. que tiene la distribución t-student con v= n-1 grados de libertad, S la varianza de Cochran Si la muestra es grande ( n > 30) y la varianza poblacional es desconocida entonces la varianza poblacional se estima a partir de la varianza muestral y en vez de t se usa Z. Esto es válido aún cuando la población no es normal AREAS BAJO LA CURVA T t1 Como P ( t0 < t < t1 ) =  f(t) dt t0 Se encuentra tabulado al final de los libros de estadística

USO DE LA TABLA T STUDENT CASO A: Dado 1 - y v Halla t0 1) Si 1 - = 0.005 y v = 15 entonces -t0 = t0.995 (15) = - 2.95 2) Si 1 - = 0.995 y v = 15 entonces t0 = t0.995 (15) = 2.95 3) Si  = 0.01 o si 1  = 0.99 , v = 2 entonces t0 = t0.99 (2 ) = 6.96

CASO B Dado t0 y v encontrar 1 - 1) Si t0 = 2.602 y v = 15 entonces 1 - = p ( t < 2.60 ) = F(2.60) = 0.99 2) Si t0 = 63.66 , y v = 1 entonces 1 - = p ( t < 63.66 ) = F(63.66) = 0.995 3) Si - t0 = - 0.142 y v = 2 entonces 1 -  = p ( t < - 0.142 ) = F(- 0.142) = 1-F( 0.142 ) = 1 – 0.55 = 0.45

PROBLEMA : Al someter a prueba una tarjeta de video de computadora se obtiene las siguientes duraciones en horas: 28,15,19,30,23 se sabe los tiempos de duración de las tarjetas se distribuye normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que la media poblacional se desvíe de la media muestral en 4 horas?

SOLUCION n=5 s=6.05 v=n-1= 5-1=4

FIN DEL CURSO