Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Gráficos de Ligaduras I Hasta ahora hablamos de modelado orientado a objetos, de los sistemas EDA que resultan de aquellos modelos y de los algoritmos de la manipulación simbólica de formulas que se requieren para convertir sistemas EDA implícitos a sistemas EDO explícitos. No discutimos todavía de donde vienen los sistemas EDA. Por esa razón tuvimos que limitar la discusión a sistemas muy simples (circuitos eléctricos y sistemas mecánicos en el plano) para las cuales ya conocemos los modelos de sus elementos. Ahora se desarrollará una metodología de modelado de sistemas menos bien conocidos y discutimos como pueden obtenerse modelos físicamente correctos para ellos.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Contenido Energía y potenciaEnergía y potencia Flujos de potenciaFlujos de potencia Gráficos de ligaduras no causalesGráficos de ligaduras no causales Un ejemploUn ejemplo Gráficos de ligaduras causalesGráficos de ligaduras causales

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Energía y Potencia Todos los sistemas físicos tienen en común las leyes de la conservación de la energía y de la masa. Los gráficos de ligaduras tratan íntimamente con la conservación de la energía en un sistema físico. Ya que energía se conserva en un sistema cerrado, la energía en un tal sistema puede modificarse solamente por tres mecanismos: Energía puede ser almacenada. Energía puede ser transportada de un sitio a otro. Energía puede ser convertida de una forma a otra.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Energía y Potencia II La energía (E) acumulada en un lugar puede cambiar solamente si energía adicional llega o si energía sale. En los dos casos se necesitan flujos de energía que pueden modelarse como derivadas de la energía con respecto al tiempo. La variable P se llama la potencia. La energía tiene la unidad de Joule [J] mientras que la potencia tiene la unidad de Watt [W]. P = dE/dt

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Energía y Potencia III En todos los sistemas físicos flujos de potencia pueden escribirse como productos de dos variables físicos diferentes. Una entre ellas es una variable extensiva (es decir, proporcional a la cantidad), mientras que la otra es un variable intensiva (independiente de la cantidad). En el caso de flujos de energía acoplados puede suceder que un solo flujo de energía tiene que modelarse por la suma de productos de tales variables adjuntas. Ejemplos: P el = u · i P mech = f · v [W] = [V] · [A] = [N] · [m/s] = [kg · m 2 · s -3 ]

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Flujos de Potencia El modelado de sistemas físicos usando gráficos de ligaduras se efectúa por una descripción gráfica de flujos de potencia. Los flujos de potencia se representan por arpones. Las dos variables adjuntas que representan el flujo de potencia se anotan por encima (variable intensiva: el “potencial” e) y por debajo (variable extensiva: el “flujo” f) del arpón. El anzuelo del arpón siempre se pone a la izquierda del arpón en la dirección del flujo positivo y el término “por encima” se refiere al lado del anzuelo. e f P = e · f e: Esfuerzo f: Flujo

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Gráficos de Ligaduras no Causales U 0 i v a v b U 0 + U 0 i Se I 0 I v a v b u 0 Sf u I 0   Voltaje y corriente tienen direcciones opuestas Energía se añade al sistema

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Elementos Eléctricos Pasivos en la Representación de Gráficos de Ligaduras R i v a v b u C i v a v b u L i v a v b u u i R u i C u i I    Voltaje y corriente tienen dirección idéntica Energía se desangra del sistema

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Uniones 0 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 1 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 e 1 = e 2 e 2 = e 3 f 1 – f 2 – f 3 = 0 f 1 = f 2 f 2 = f 3 e 1 – e 2 – e 3 = 0  

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Un Ejemplo I v1v1 v2v2 v0v0 v1v1 v2v2 i0i0 iLiL i1i1 i2i2 iCiC i0i0 i0i0 i0i0 U0U0 v0v0 v0v0 v0v0 v0v0 iLiL iLiL iLiL v1v1 v1v1 v1v1 i1i1 i1i1 i1i1 u1u1 uLuL v2v2 v2v2 v2v2 u2u2 uCuC iCiC iCiC iCiC i2i2 i2i2 i2i2

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Un Ejemplo II i0i0 i0i0 i0i0 U0U0 v0v0 v0v0 v0v0 v0v0 iLiL iLiL iLiL v1v1 v1v1 v1v1 i1i1 i1i1 i1i1 u1u1 uLuL v2v2 v2v2 v2v2 u2u2 uCuC iCiC iCiC iCiC i2i2 i2i2 i2i2 v 0 = 0 P = v 0 · i 0 = 0 

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Un Ejemplo III i0i0 U0U0 iLiL v1v1 i1i1 i1i1 i1i1 u1u1 uLuL v2v2 u2u2 uCuC iCiC i2i2

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Gráficos de Ligaduras Causales Cada ligadura define dos variables separadas: el esfuerzo e y el flujo f. Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener los valores numéricos de estas dos variables. Resulta que una de esas dos variables se evalúa en un lado de la ligadura y la otra en el lado opuesto. Una barra vertical simboliza el lado donde se evalúa el flujo. e f

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 “Causalización” de las Fuentes U 0 = f(t) I 0 = f(t) U 0 i Se Sf u I 0 La fuente define el esfuerzo. El flujo tiene que evaluarse en el otro lado. La fuente define el flujo. La causalidad de las fuentes es fija. 

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 “Causalización” de los Elementos Pasivos u i R u = R · i u i R i = u / R u i C du/dt = i / C u i I di/dt = u / I La causalidad de resistores es libre.  La causalidad preferida de los elementos de almacenaje es decidida por el deseo de usar integradores en lugar de diferenciadores. 

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 “Causalización” de las Uniones 0 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 e 2 = e 1 e 3 = e 1 f 1 = f 2 + f 3  1 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 f 2 = f 1 f 3 = f 1 e 1 = e 2 + e 3  Uniones del tipo 0 definen una sola ecuación de flujos. Por consecuencia tienen una sola barra de causalidad. Uniones del tipo 1 definen una sola ecuación de esfuerzos. Por consecuencia tienen exactamente (n-1) barras de causalidad.

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Un Ejemplo IV U0.e C1.e R1.e U0.f L1.f R1.f R2.f C1.f U0.e = f(t) U0.f = L1.f + R1.f dL1.f /dt = U0.e / L1 R1.e = U0.e – C1.e R1.f = R1.e / R1 C1.f = R1.f – R2.f dC1.e /dt = C1.f / C1 R2.f = C1.e / R2

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Referencias I Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 7.Continuous System ModelingChapter 7 Cellier, F.E. (1992), “Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems,” Simulation, 58(4), pp Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems Cellier, F.E., H. Elmqvist, and M. Otter (1995), “Modeling from physical principles,” The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp Modeling from physical principles

Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 6, 2008 Referencias II Cellier, F.E. (1997), “World Wide Web - The Global Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research,” Proc. ICBGM'97, 3 rd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, AZ, pp World Wide Web - The Global Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research