Métodos Numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales Cálculo Numérico Práctica 4

Métodos numéricos para Ecuaciones en Derivadas Parciales Resolución de sistemas lineales tridiagonales Factorización de una matriz tridiagonal Resolución de un sistema mediante LU Ecuación de Ondas Método implícito Ecuación de Laplace Método de sobrerrelajación por filas

Sistemas lineales tridiagonales A = L·U

Algoritmo de Factorización function [c,l,u]=clu(c,a,b) n = length(a); l(1) = a(1); for i=2:n u(i-1) = b(i-1)/l(i-1); l(i) = a(i) - c(i-1)*u(i-1); end

Resolución de un sistema mediante LU. Archivo croutlu.m Eliminación y(1)=d(1)/l(1); for i=2:n y(i)=(d(i)-c(i-1)*y(i-1))/l(i); end Sustitución regresiva x(n)=y(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G Introducción EDP de orden 2, lineales de coeficientes constantes. Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=G Ecuación de Ondas utt - c2uxx = 0 Ecuación del Calor ut - cuxx = 0, c>0 Ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 Condiciones iniciales y de contorno

Ecuación de Ondas Ecuación de Ondas Condiciones iniciales Condiciones de contorno Ecuación en diferencias finitas utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = f(x) ut(x, 0) = g(x) u(0,t) = l(t) u(L,t) = r(t)

Ejemplo Ecuación: utt = c²uxx , 0 < x < L, t > 0, c = 1, L=T=4 Condiciones iniciales u(x, 0) = 2|x-2|, ut(x, 0) = 0 Condiciones de contorno u(0,t) = 0, u(L,t) = 0 Discretización nx=4, nt=8 L

ui,1 = a2 (fi-1+fi+1)/2 + (1-a2)fi + kgi Método implícito Paso 0º: Condición inicial 1ª ui,0 = fi Paso 1º: Condición inicial segunda ui,1 = a2 (fi-1+fi+1)/2 + (1-a2)fi + kgi Pasos siguientes: ecuación en diferencias (1+a2)ui,j+1 - a2(ui+1,j+1 + ui-1,j+1)/2 = 2ui,j + a2(ui+1,j-1 + ui-1,j-1)/2 - (1+a2)ui,j-1

Paso del método implícito Truco ecuación implícita - a2( ui-1,j-1 + ui-1,j+1)/4 + (1 + a2)(ui,j-1 + ui,j+1)/2 - a2(ui+1,j-1 + ui+1,j+1)/4 = ui,j . Sistema Aw = v, v = (u1,j,u2,j,...,unx-1,j)' tridiagonal ui,j+1 = wi - ui,j-1 Factorización LU Lz = v Uw = z

Algoritmo: parámetros de entrada nx, h: nº de intervalos y paso espacial nt, k: nº de intervalos y paso temporal c: coeficiente de la ecuación f, g: vectores columna (nx+1,1) de las condiciones iniciales en los nodos con t = 0 hl, hr: vectores fila (1, nt+1)de las condiciones de contorno en los nodos con x = 0 y x = L, resp.

Ejemplo: parámetros de entrada nx = 4; h=1; x = 0:h:4; x = x(:); nt = 8; k =.5; c = 1; f = 2 - abs(2-x); g = zeros(size(x)); hl = zeros(1, nt+1); hr = zeros(1, nt+1);

Algoritmo: Preparación a2 = (c*k/h)^2; % Parámetro de Courant U = zeros(nx+1,nt+1); % Solución Condiciones de contorno U(1,:) = hl; U(nx+1,:) = hr; Rangos auxiliares de índices L = 1:nx-1; C = 2:nx; R = 3:nx+1;

Algoritmo: pasos iniciales Condición inicial sobre la función (paso 0) U(:,1) = f; Condición inicial sobre la derivada (paso 1) U(C,2) = a2*(f(L) + f(R))/2 + ... (1-a2)*f(C) + k*g(C);

Algoritmo: construcción y factorización de la matriz Diagonal principal dp = (1+a2)/2*ones(1, nx-1); Subdiagonal y superdiagonal ds = -a2/4*ones(1, nx-2); Factorización LU [c,l,u]=clu(ds,dp,ds);

Algoritmo: paso general for j = 2:nt % Términos independientes b(1) = a2/4*(hl(j-1)+hl(j+1)); b(nx-1) = a2/4*(hr(j-1)+hr(j+1)); % Resolucion del sistema U(C,j+1) = ... croutlu(c,l,u,U(C,j)+b')'-U(C,j-1); end

Ejemplo

Ecuaciones elípticas Ecuación de Laplace uxx + uyy = 0, 0 < x < a, 0 < y <b Condiciones de contorno u(x,0) = f0(x), u(x,b) = f1(x) u(0,y) = g0(y), u(a,y) = g1(y) Discretización

Ecuación de Laplace Ecuación en diferencias: a=k/h a2(ui-1,j + ui+1,j) + ui,j-1 + ui,j+1 - 2(a2+1)ui,j = 0 Matriz del sistema: grande , dispersa Caso h = k : ui-1,j + ui+1,j + ui,j-1 + ui,j+1 = 4ui,j

Algoritmos iterativos por bloques Iteración por bloques columna Para j = 1, 2, … , ny-1, resolver el sistema Iteración por bloques fila Método implícito de direcciones alternadas

Ecuación de Laplace. Ejemplo uxx+ uyy=0, 0 < x < 1, 0 < y < 1 Condiciones de contorno u(x, 0) = 0, u (x, 1) = 100x u(0, y) = 0, u(1, y) = 100y Discretización h = 0.125, k = 0.25

Algoritmo: parámetros de entrada alfa: paso y / paso x f0, f1: vectores columna (nx+1, 1) de las condiciones de contorno en los nodos con y = 0 e y = b, resp. g0, g1: vectores fila (1, ny+1) de las condiciones de contorno en los nodos con x = 0 y x = a, resp. tol: condición de convergencia maxiter: tope de iteraciones.

Ejemplo: parámetros de entrada h=.125; x = 0:h:1; x = x(:); k=.25; y = 0:k:1; alfa = k/h; f0 = zeros(size(x)); f1 = 100*x; g0 = zeros(size(y)); g1 = 100*y; tol = 5e-2; maxiter = 50;

Algoritmo: Preparación a2 = alfa^2; b2 = 2*(1+a2); m = length(f0); n = length(g0); Estimación inicial U = zeros(n, m); Condiciones de contorno U(:,1) = f0; U(:,n) = f1; U(1,:) = g0; U(m,:) = g1; 1 g0 n 1 f0 m f1 g1

Algoritmo: Construcción y factorización de la matriz Diagonal principal dp = b2*ones(1, m-2); Subdiagonal y superdiagonal ds = -a2*ones(1, m-3); Factorización LU [c,l,u]=clu(ds,dp,ds);

Algoritmo: relajación por columnas for j = 2:n-1 % Términos independientes b = U(2:m-1, j-1) + U(2:m-1, j+1); b(1) = b(1) + a2*g0(j); b(m-2) = b(m-2) + a2* g1(j); % Resolucion del sistema U(2:m-1, j) = croutlu(c,l,u,b)'; end

Algoritmo: iteraciones incr = tol + 1; iter = 0; while incr > tol & iter < maxiter Actualizar U por columnas Calcular incr Incrementar iter end

Ejemplo

F I N