Libro de texto 2- Distorsión armónica Armónicas en Sistemas Eléctricos Industriales, Armando Llamas, Salvador Acevedo, Jorge de los Reyes, Jesús Baez, Innovación Editorial Lagares, Monterrey, 2004.

Contenido Distorsión Armónica El teorema de Fourier y las armónicas Fator de cresta, valor rms, distorsión armónica y factor k Transformada rápida de Fourier

Introducción CON EL auge que la electrónica y otras cargas no lineales tienen en las aplicaciones residenciales, comerciales e industriales, se ha incurrido en una “contaminación armónica” generalizada. La mayoría de los equipos electrónicos tienen un comportamiento no lineal lo cual causa distorsión en las corrientes, y por consecuencia en los voltajes, tanto de los equipos electrónicos como de la red eléctrica en que se encuentran. Otros ejemplos de cargas no lineales son los hornos eléctricos de inducción, así como los motores eléctricos y los transformadores, especialmente bajo condiciones de saturación. Las cuchillas en media tensión permiten, mediante la desconexión, el acceso a apartarrayos y terminales de media tensión del transformador. Además protegen al transformador contra daño por sobrecarga y corto circuito. Los apartarrayos protegen al devanado primario contra sobrevoltajes transitorios. La función de éstos es limitar las excursiones de los voltajes en terminales primarias con respecto al tanque que contiene los devanados. Es por esto que la unión de apartarrayos a terminales primarias y a tanque debe ser los más directa posible. El sistema de electrodos está formado por un electrodo por dos electrodos artificiales y la tubería del agua. Los tres deben estar unidos, como se indica en la figura. El gabinete del transformador y del equipo de desconexión principal son uno solo, como en una subestación unitaria. Este gabinete se una al sistema de electrodos en dos puntos , en el conductor de bajada del apartarrayos y en el conductor del sistema de electrodos. Una variante consistiría en eliminar la bajada de pararrayos, uniendo sólo a tanque de transformador- y gabinete de equipo de desconexión principal y bajar a sistema de electrodos sólo en el conductor del sistema de electrodos. Los dos electrodos artificiales se unen ahora a nivel del terreno, ver siguiente SLIDE. El secundario del transformador forma un sistema derivado separadamente y como tal se debe conectar a tierra. La barra de neutros, aislada del gabinete se une a la barra de tierras mediante el puente de unión principal, PUP. El conductor puesto a tierra o neutro se une sólo en este punto a tierra. Los gabinetes, las canalizaciones metálicas se deben unir a tierra. Situación que se enfatiza en la figura mediante los puntos rellenos que indican unión. Estas uniones deben ser mediante conectores apropiados. De ninguna manera son apropiados los llamados “entorchados”. Un entorchado en puestas a tierra denota un instalación de mala calidad.

Teorema de Fourier De acuerdo al Teorema de Fourier, una función que se repite cada T segundos ( esto es, una función con período T ) puede expresarse como una suma infinita de senos y cosenos, tal como se muestra a continuación: f(t) = a0 + a1 cos ( 1  1 t ) + b1 sin ( 1  1 t ) + a2 cos ( 2  1 t ) + b2 sin ( 2  1 t ) + a3 cos ( 3  1 t ) + b3 sin ( 3  1 t ) + a4 cos ( 4  1 t ) + b4 sin ( 4  1 t ) + ... + ..... + an cos ( n  1 t ) + bn sin ( n  1 t ) = donde es la frecuencia angular en rad/s, T es el periodo en segundos y a0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4, ..., an, bn son constantes.

Fourier f(t) = a0 + a1 cos ( 1  1 t ) + b1 sin ( 1  1 t ) + a2 cos ( 2  1 t ) + b2 sin ( 2  1 t ) + a3 cos ( 3  1 t ) + b3 sin ( 3  1 t ) + a4 cos ( 4  1 t ) + b4 sin ( 4  1 t ) + ... + ..... + an cos ( n  1 t ) + bn sin ( n  1 t ) = a0 es una componente de valor constante, que es el valor promedio o componente de corriente directa a1 cos ( 1  1 t ) + b1 sin ( 1  1 t ) = c1 cos(1 t + 1) se conoce como la componente fundamental y tiene la misma frecuencia y el mismo periodo T que la función que deseamos descomponer en senos y cosenos a2 cos ( 2  1 t ) + b2 sin ( 2  1 t ) = c2 cos(2  1 t + 2) corresponde a la segunda armónica y tiene una frecuencia igual al doble de la frecuencia de la función periódica f(t)

Ejemplo 1 Una fuente de voltaje sin distorsión de 127 V, 60 Hz alimenta a un grupo de computadoras (cargas no lineales) que demandan una corriente distorsionada de 3 A. El contenido de armónicas de la corriente se resume en la siguiente tabla (ángulos de función seno): Graficar las formas de onda de voltaje y corriente. Solución: i fundamental, i tercera armónica, i quinta armónica, i séptima armónica, i novena armónica,

Formas de onda

Voltaje y corriente 169.71 V 8.449 A

Orden armónico, valor rms y ángulo como función coseno Ejemplo 2 La Tabla muestra el resultado del análisis de Fourier para la corriente de computadoras capturada con una tarjeta de adquisición de datos. Grafique la forma de onda resultante. Orden armónico, valor rms y ángulo como función coseno

Gráfica EJEMPLO 2

Valor promedio El Valor promedio de una forma de onda periódica es el área bajo la curva de la onda en un período T, entre el tiempo del período. El valor promedio de una senoidal es cero, El valor promedio de una senoidal rectificada de onda completa es , donde Vp es el valor pico de la senoidal. valor pico

Valor efectivo El Valor efectivo, valor eficaz o valor rms de una función periódica es la raíz cuadrada del valor promedio de la función al cuadrado

Factor de cresta Factor de cresta (f.c.), la relación del valor pico (cresta) al valor rms de una forma de onda periódica valor pico

Ejemplo 3 Empleando los datos de la corriente del Ejemplo 1, determinar el valor promedio, el valor rms y el factor de cresta. Solución: El valor promedio de la corriente del ejemplo es cero pues es simétrica alrededor del eje de tiempo . En la tabla siguiente aparecen los valores pico, los valores rms y los valores rms al cuadrado de las componentes (la fundamental y las armónicas). h 1 3 5 7 9 I pico, h 2.88 2.31 1.75 1.07 0.45 I rms, h 2.036 1.633 1.237 0.757 0.318 (I rms,h) 2 4.1472 2.66805 1.53125 0.57245 0.10125

Valor rms verdadero y en base a promedio Valor rms verdadero. Algunos instrumentos indican el valor rms sin importar la forma de la onda, por lo general aparece la leyenda “true rms” en dichos instrumentos. Valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada. Algunos instrumentos rectifican una señal proporcional a la cantidad a medir y miden directamente el valor promedio de dicha señal. La escala no indica el valor promedio sino el valor rms que corresponde a una senoidal. para una senoidal: valor promedio de una senoidal con rectificación de onda completa está dado por: valor rms en función del valor promedio está dado por:

Rectificación de onda completa Ejemplo 4 Encuentre la lectura que daría un amperímetro “true rms” y uno que mida el valor promedio de la función rectificada de la corriente del Ejemplo 1. Solución: Un amperímetro de valor efectivo verdadero indicaría 3 A rms. Un amperímetro que de valor rms en base al promedio de la senoidal rectificada indicaría: I true rms = 3 A 8.449 A Rectificación de onda completa Valor promedio = 1.501 A. 20 A A A 27 A 15 A

Distorsión armónica total “Total Harmonic Distortion (THD)”. Factor armónico o factor de distorsión

Ejemplo 5 Encontrar la distorsión armónica de la corriente del Ejemplo 1. h 1 3 5 7 9 I pico, h 2.88 2.31 1.75 1.07 0.45 I rms, h 2.036 1.633 1.237 0.757 0.318 (I rms,h) 2 4.1472 2.66805 1.53125 0.57245 0.10125 (I rms,h) / I1 1 0.802 0.608 0.372 0.156 { (I rms,h) / I1 } 2 1 0.643 0.369 0.138 0.024 2 . 6681 + 1 . 5313 + . 5725 + . 10125 2 . 207 THD = = = 1 . 084 = 108 . 4% 2 . 036 2 . 036 THD = . 643 + . 369 + . 138 + . 024 = 1 . 084 = 108 . 4%

Factor K Indica la capacidad de un transformador para alimenta cargas no senoidales sin sobrecalentarse Ih es el valor efectivo de la corriente armónica h, en pu del valor efectivo de la corriente total Si se tienen los datos de las corrientes armónicas en pu de fundamental, el factor K se puede calcular mediante la siguiente expresión

Ejemplo 6 Calcular el factor K de la corriente del Ejemplo 1. Empleando los datos de la corriente con distorsión de este artículo, tenemos la siguiente tabla Sumando los valores del último renglón y multiplicando por la relación al cuadrado de corriente fundamental a corriente total, obtenemos

Transformada rápida de Fourier

Ejemplo 7 64 datos it -150 -100 -50 50 100 150 0.5 1 1.5 2 ciclos i, A