INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TACÁMBARO.  INGENIERÍA EN INDUSTRIAS ALIMENTARIAS. UNIDAD II “FUNCIONES” PROFESOR: MARIO ALBERTO SÁNCHEZ CAMARENA. ALUMNOS: GOMEZ TORRES JOSÉ ENRIQUE. MEDINA NAVA CYNTHIA DANIELA. OROZCO VICTORIA CLAUDIA LETICIA. RAMIREZ MARTINEZ LAURA.

TEMA: 2.8 . FUNCION INVERSA. y FUNCION LOGARITMICA.

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f-1(b) = a FUNCION INVERSA. Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f-1(b) = a

Recordemos que una función f es una regla de correspondencia, que asigna a cada valor x en su dominio x un valor único, y, en su contradominio.

Por ejemplo, para f(x)= x2 + 1, el valor y = 5 se presenta con x = -2, o bien con x = 2. Por otra parte, para la función g(x) = x3, el valor y = 64, solo se presenta cuando x = 4.

En realidad, para cada valor de y en el contradominio de g(x) = x3, solo corresponde un valor de x en el dominio.

FUNCIÓN UNO A UNO. PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL. Se dice que una función f es uno-a- uno, si cada numero en el contradominio de f esta asociado con exactamente un numero en su dominio x. PRUEBA DE LA RECTA HORIZONTAL. La interpretación geométrica de lo anterior es que una recta horizontal (y = constante) puede cruzar la grafica de una función uno a uno a lo mucho en un punto.

Una función no es uno a uno, si alguna recta horizontal, cruza a su grafica, mas de una vez.

DOMINIOS RESTRINGIDOS Para una función f que no es uno a uno, se podrá restringir su dominio de tal manera que la nueva función, que consista en f definida en este dominio restringido, sea uno a uno, y entonces tenga una inversa.

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

FUNCIONES LOGARITMICAS Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. La función logarítmica se denota de la siguiente manera: Y = log 𝑏 𝑎 , con a>0 y distinto de 1. La notación 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒚 = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. El dominio son los reales positivos y el recorrido son todos los reales.

Propiedades de los logaritmos • Logaritmo del producto: log 𝒂 𝒃.𝒄 = log 𝒂 𝒃+ log 𝒂 𝒄 • Logaritmo del cociente: log 𝒂 𝒃 𝒄 = log 𝒂 𝒃 − log 𝒂 𝒄 • Logaritmo de una potencia: log 𝒂 (𝒃 𝒎 )=𝒎∙ log 𝒂 𝒃 • En cualquier base: log 𝒂 𝟏 = 𝟎 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝟎 =𝟏 log 𝒂 𝒂 =𝟏 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝟏 =𝒂

Fórmula: log 𝒂 𝒃= 𝒍𝒐𝒈 𝒃 𝒍𝒐𝒈 𝒂 EJEMPLOS: log5 25 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 = 2 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟒𝟎= 𝒍𝒐𝒈 𝟒𝟎 𝒍𝒐𝒈 𝟓 = 𝟐.𝟐𝟗 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟐𝟑.𝟕𝟐= 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟑.𝟕𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟐 =𝟒.𝟓𝟔 log5 25 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐𝟓 𝒍𝒐𝒈 𝟓 = 2   Equivalente a  52 = 25.  “El logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”  (Observa que un logaritmo es un exponente al cual hay que elevar la base para obtener el numero que se pida.)

EJEMPLOS: 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓=𝒙 𝒙= 3 𝟓 𝟑 =125 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟖𝟏=𝒙 𝒙=𝟒 𝟑 𝟒 = 81 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐𝟓=𝒙 𝒙= 3 𝟓 𝟑 =125 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝟖𝟏=𝒙 𝒙=𝟒 𝟑 𝟒 = 81 log 𝟒 𝟐 =𝒙 𝒙= 𝟏 𝟐 𝟒 𝟏/𝟐 = 𝟐 log 𝟏 𝟓 𝟐𝟓=𝒙 𝒙=−𝟐 𝟏 𝟓 −𝟐 =𝟐𝟓 𝐥𝐨𝐠 𝟑 ( 𝟏 𝟗 ) =𝒙 𝒙=−𝟐 𝟑 −𝟐 = 𝟏 𝟗

Ejemplo: calcular la siguiente función logarítmica y = log 2 𝑥 con a>0 y distinto de 1. x F(x)= log 𝟐 𝒙 0.125 -3 0.25 -2 0.5 -1 1 2 4 8 3

Ejemplo: f(x)=2· 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 Dominio=(0,+∞) Recorrido= IR Asíntota: x=0

Ejemplo: Dominio=(0,+∞) Recorrido= IR Asíntota: x=0 b) f(x)= log 3 𝑥 +1 Dominio=(0,+∞) Recorrido= IR Asíntota: x=0

Funciones trigonométricas inversas Sea t cualquier número real y que determina el punto P (x,y). Entonces: sen t = y y cos t = x

Propiedades del seno y coseno Dado que t puede ser cualquier número real. el dominio de las funciones seno y coseno es (-∞,∞). -Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y –t, son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia: sen (-t) = -sen y cos (-t) = cos t Una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno es: Sen2 t + cos2 t = 1

1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. 2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. 3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto. 5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente. 6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.

Funciones trigonométricas inversas Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son: 1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo. 2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo. 3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.

Arcoseno

Arcocoseno

Arcotangente