Factorización de polinomios

¿Por qué necesitamos saber factorizar?

¿Cuáles de los siguientes polinomios están factorizados? (x2-1)(x+2) (x-2)(2x+3) + 1 3x+5 12(x2+9)(x-4) (x3-5)

Polinomio primo o irreductible Es el que no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno. De primer grado: 2x+3 ; x-2 ; 3x+8 ; 4x+12 De segundo grado: x2+1 ; x2+x+1 ; x2-2x+5

Conclusión En general, son polinomios primos: Cualquier polinomio de primer grado, es decir de la forma ax + b. Cualquier polinomio de segundo grado, de la forma ax2 + bx + c, de discriminante ( = b2 – 4ac) negativo. Es decir, si ax2 + bx + c = 0 no tiene solución real.

Factorización de polinomios Factorizar un polinomio es el proceso mediante el cual el polinomio se transforma en un producto de polinomios primos, (factores primos). FACTORIZACIÓN x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2) MULTIPLICACIÓN

Métodos de factorización

1. 3a2b2 – 6a2b = 3a2b(b – 2) 2. Factor común (3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) = (3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) = (x–y-1) (4x+3y-2z)

Factor común polinomio 1. 2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) = 2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) = 2x(x – 1) - y(x - 1) + 2(x - 1) = (x – 1)(2x - y + 2)

Factor común por agrupación de términos x3 + x2 + x + 1 = Forma 1 Forma 2 Forma 3 x3 + x2 + x + 1 = x3 + x2 + x + 1 = x3 + x2 + x + 1 =

Aspa simple: P(x) = ax2m+bxmyn+cy2n 2x2 + 13xy – 15y2 15xy 2x +15y x -1y -2xy = (2x + 15y)(x - y)

Reconstruir el proceso: 1 2 3 4 (x2 – 1)(x+2) 4 x3 – x +2x2 - 2 x(x2 – 1) + 2(x2-1) 2 x(x2 – 1) + 2(x2-1) (x – 1)(x+1)(x+2) 1 (x2 – 1)(x+2) 3 x3 – x +2x2 - 2 (x – 1)(x+1)(x+2)

Forma Factorización Productos notables (x + y)(x - y) x2 - y2 = x2 + 2xy + y2 = x3 + y3 = x3 – y3 = x3 + 3x2y+3xy2 + y3= (x + y)2 (x + y)(x2 -xy+y2) (x - y)(x2 + xy + y2) (x + y)3

Completando cuadrados Recordemos el desarrollo del producto notable se denomina trinomio cuadrado perfecto: Ejemplo 1: Cualquier trinomio de la forma Se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto, sumanando y restando un mismo número Remplazando el trinomio por el binomio al cuadrado, queda: Finalmente se factoriza como una diferencia de cuadrados

Se sume y se reste el cuadrado de este número Ejemplo 2. P(x) = x2 + 5x + 1 Este coeficiente se descompone en el doble producto de x por 5/2 Factorice el trinomio cuadrado perfecto Factorice esta diferencia de cuadrados

P(x) = 2x2 - 43x + 221 = (x – 13)(2x -17) Ejemplo 3 Nota: Primero factorice 2 y luego dentro de los paréntesis, siga como en los casos anteriores. Sume y reste el cuadrado de (43/4), factorice el trinomio cuadrado perfecto, simplifique y factorice una diferencia de cuadrados si es posible. = (x – 13)(2x -17) Nota: Si despues de factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar no qued una diferencia sono una suma, esto quiere decir que no es posible factorizar el trinomio.

Procedimiento Ejemplo Aplicaciones de factorización de polinomios: Resolución de ecuaciones polinómicas Procedimiento Ejemplo Ecuación Factorizar el polinomio Igualar cada uno de los factores a cero Determinar los valores de x y escribir el conjunto solución. x3 + 2x2 – x – 2 = 0 (x–1)(x+1)(x+2)=0 x–1=0 ó x+1=0 ó x+2=0 x =1 ó x =-1 ó x =-2 C.S. = 1; -1; -2

Reconstruir el proceso: Se muestran siete pasos en un proceso para factorizar una expresión. Identifique el orden secuencial del proceso de factorización 1 (5x+4y)3 + [ 2(5x+4y)]2 + 3(5x+4y) 2 a3 + 4a2 + 3a 3 a (a+3) (a+1) 4 (5x+4y).(5x+4y+3).(5x+4y+1) 5 a (a2 +4a +3) 6 (5x+4y)3 + (10x +8y)2 + 15x + 12y 7 Haciendo a = 5x + 4y 2 4 6 7 5 1 3

Métodos de factorización Factor común (por agrupación de términos) Factorizar trinomios: Aspa simple. PN: (x+y)2 ; (x-y)2 Completando cuadrados Factorizar binomios: PN: x2 - y2 ; x3 – y3 ; x3 + y3