Beatriz Rodríguez Rava 24 de setiembre 2007 "La enseñanza de la numeración en el ciclo escolar. Consideraciones en torno a la intervención docente." Beatriz Rodríguez Rava 24 de setiembre 2007

Recorrido de la conferencia Su importancia en el ciclo escolar. Diferenciación entre concepto de número y SND. Como objeto Como herramienta Contexto oral Contexto escrito Numeración Racional Intervención docente NUMERACIÓN

Aclaración En algunas diapositivas se agregan llamadas con el nombre de autores y libros o artículos que pueden aportar elementos a lo que se plantea. La referencia completa de dichos materiales se encuentra en la bibliografía que se presenta en las últimas diapositivas.

Sistema de Numeración Decimal “…no es un artilugio de mera traducción de cantidades en formas gráficas, sino un sistema de representación de las cantidades. La construcción de cualquier sistema de representación involucra un proceso de diferenciación de los elementos y relaciones reconocidos en el objeto a ser representado (…) y una selección de aquellos elementos y relaciones que serán retenidos en la representación… Para poder representar las cantidades, el sistema de numeración posee ciertas reglas que permiten organizar la cuantificación para hacerla económica, y estas reglas, lejos de ser «naturales», son producto de la elaboración histórica de ciertas convenciones.” Terigi, F. y Wolman, S (2007) “Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza” en Revista Iberoamericana de Educación. Nº 43

La gran innovación del Sistema de Numeración Decimal El empleo de los agrupamientos. La utilización del principio de la base. El valor posicional. Incorporación del “0”. --------------------------------- Economía Hermetismo Silva, Alicia (2005) – “ El Sistema de Numeración Hindú en el ojo de la tormenta” ,

Nombres de los números en japonés 1 ichi 2 ni 3 san 4 shi 5 go 6 roku 7 sichi 8 hachi 9 ku 10 ju 11 juichi 12 juni 13 jusan 20 niju 21 nijuichi 22 nijuni 23 nijusan 30 sanju 31 sanjuichi

Enseñanza de la numeración Dos perspectivas: Como objeto matemático Como herramienta cultural Entorno oral Entorno escrito Curti, Ma. Del Carmen (2005) “El sistema de numeración: objeto cultural, objeto de conocimiento” Lerner, D. y Sadovsky, P. (1994) “El sistema de numeración: un problema didáctico”

Entorno oral El conteo implica: recitado de la serie, establecer correspondencia, cardinalizar. Funcionalidad del conteo. Ressia, Beatriz (2003) – “La enseñanza del número y del sistema de numeración en el Nivel Inicial y el primer año de la EGB”

Entorno escrito: Hughes Escrituras idiosincrásicas Pictográficas Icónicas Simbólicas Hughes, Martín (1987) - “Los niños y los números. Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.” 3 3 3 1 2 3

¿Materiales didácticos? ¿Cómo se aproximan los niños a comprender los principios que rigen el sistema posicional? Lerner La utilización de la notación numérica plantea problemas cuya resolución exige la construcción de regularidades: en la interacción con la numeración escrita y en la comparación de números a través su escritura los alumnos elaboran criterios que funcionan como reglas de acción y les permiten identificar a) la cantidad mayor; b) en el de jerarquía le da a la cifra de la izquierda mayor importancia poniendo en evidencia que empezaron a ver que la posición es portadora de sentido. “Al contar colecciones de objetos, al buscar escrituras numéricas en las cinta métrica, o para ubicar una página de libro los niños construyen regularidades referidas a la serie numérica oral y a la escrita así como a la correspondencia entre ambas” ¿Materiales didácticos? Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración?”

Al resolver problemas que requieran sumar o restar números de 2 cifras y enfrentarse con la necesidad de construir procedimientos más económicos que el conteo uno a uno o el sobre conteo, los alumnos tienen la oportunidad de descubrir las ventajas de sumar y/o restar reiteradamente de a 10. Frente a esto van reconociendo qué le pasa a un número al cual se le suma 10.

En segundo lugar el establecimiento de estas regularidades aparentemente superficiales se concibe como una condición necesaria para que los niños comiencen a reflexionar sobre ellas, a preguntarse por aquello que está más oculto en nuestro sistema de numeración decimal (a reconstruir las razones que explican las reglas establecidas). Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración?”

Centración en el significante Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración?” 400 + 20 + 600 + 2 ----------------------------- 1000 + 500 + 80 + 6 “Tacho los ceros y escribo 1586” ------------------------------------------ “50 + 30 es 5 + 3 y después pongo 80, taché el cero y después se lo escribí” Centración en el significante

Lerner plantea Del uso a la reflexión Reglas Análisis de conocimientos puestos en juego Razones de la regla Avanzar a través de la abstracción reflexiva hacia la toma de conciencia. Regularidades Observadas en los significantes Lerner (2005)“¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración?”

Posibles actividades Descomposiciones aditivas y multiplicativas. Desagregados como medio para ordenar, para operar. Encuadrar números. Diferentes representaciones de un mismo número.

Aspectos a trabajar Conteo. Orden. Representaciones: producción e interpretación. Desagregado y armado de números. Regularidades. Valor posicional. Notación. Xavier de Mello, Alicia (2005) “Matemática en el primer ciclo de la escolaridad” Lerner, Delia (1992) “La matemática en la escuela. Aquí y ahora.”

Numeración racional: ruptura con la numeración natural Los números ya no tienen anterior y siguiente. Entre dos números racionales ya no hay un número finito de otros números. El análisis de la cantidad de cifras no vale como método de comparación de racionales. La multiplicación sólo en algunos casos puede ser interpretada como una suma reiterada. El producto de dos números racionales, en muchos casos, es menor que cada uno de los factores. El resultado de una división puede ser mayor que el dividendo.

Aspectos que involucra la noción de fracción la fracción surge de un todo divisible, constituido por partes separables, supone un número de partes que debes ser iguales, la división del todo debe ser exhaustiva, existe una relación entre la cantidad de partes y las divisiones que generan dichas partes, las partes constituyen el todo original pero a su vez pueden transformarse en nuevos “todos”, la unión de todas las partes constituye el todo. PMEM (2006) “ Cuadernos de Estudio II”

Contextos de uso Repartir. Los repartos involucran tanto magnitudes discretas como continuas. Relacionar. Las relaciones pueden ser: a) de tipo gráfico (entre el todo y las partes, entre las partes y el todo y entre las partes entre sí) y b) numérico (orden, equivalencia y operaciones entre fracciones). Medir. Actividades en las cuales la cantidad a medir no es un múltiplo de la unidad empleada y otras en las que la unidad es mayor que la cantidad de magnitud a medir. Estas variaciones exigen el fraccionamiento de la unidad. PMEM (2006) “ Cuadernos de Estudio II”

Favorecer la aparición de notaciones no convencionales. Relación entre contextos de uso y las diferentes representaciones. Limitación de algunos sistemas (por ej. monetario).

Aspectos a trabajar Diferentes contextos Representaciones Orden Equivalencia Densidad Abella, Gil, Vilaró (2007) “2/4 y ½ ¿iguales o equivalentes? ¿Qué hacer en la escuela?” PMEM

Construcción del sentido Depende esencialmente de las interacciones que el alumno tiene con el concepto matemático y del conjunto de prácticas que el alumno despliega. ¿Cuáles son los elementos que configuran esas prácticas?

Elementos que configuran las prácticas que los alumnos pueden desarrollar en la escuela Las elecciones que realiza el docente con respecto a los tipos de actividades, la secuenciación de las mismas, las formas de presentación…las formas de gestión. Las interacciones que el docente promueva entre los alumnos y las situaciones que les proponga. Las modalidades de intervención docente (directa) a lo largo del proceso de enseñanza.

Intervención docente Previa (Planificación: análisis a priori) Durante Mientras los alumnos están involucrados en la resolución (¿cómo encontrar insumos?) b) Puesta en común (vinculada al objetivo y a los insumos). c) Institucionalización (de procedimientos, algoritmos, lenguaje, notación y está íntimamente vinculada al objetivo y a los insumos). Posterior

Puesta en común Espacio de intercambio, de explicitación, de debate, en el cual el lenguaje juega un papel fundamental en la “aclaración” del pensamiento.

Tipos de intervenciones según la actividad Una situación de indagación muy abierta, nueva para los alumnos, cuyo objetivo es principalmente aprender a explorar. Una situación que apunta a la familiarización o estabilización de una noción o de un procedimiento experto. Una situación que exige la validación por parte del alumno. Una situación en la que sea necesario centrar la atención sobre algunos procedimientos , de manera de ayudar a los alumnos a tomar conciencia de su especificidad. Ayudar a los niños a poner en evidencia las relaciones que existen entre diferentes procedimientos, las filiaciones, los parentescos.

Intervenciones que apunten a sostener la incertidumbre. Diferentes intervenciones del docente según los momentos de una secuencia didáctica o de una clase. Intervenciones docentes que favorezcan la instalación de espacios de reflexión, de discusión, de formulación, de validación. Intervenciones que apunten a sostener la incertidumbre. Quaranta, M. E. y Tarasow, P. (2004) “Validación y producción de conocimiento sobre las interpretaciones numéricas”

Tipos de intervenciones: Harfuch y Foures Intervenciones de orden Intervenciones abiertas Intervenciones sustantivas Intervenciones no sustantivas Intervenciones de apertura ficticia Intervención cerrada Harfuch, Silvia y Foures, Cecilia (2003) “Un análisis de las intervenciones docentes en el aula”

“Comprender consiste en extraer la razón de las cosas, en tanto que saber hacer es solo utilizarlas con éxito, lo que indudablemente es una condición previa para la comprensión, pero la comprensión supera ese uso exitoso porque desemboca en un saber que precede a la acción y puede prescindir de ella” Jean Piaget

Bibliografía básica recomendada Abella, Andrés; Gil, Omar; Vilaró, Ricardo (2007) – “2/4 y ½ ¿iguales o equivalentes? ¿Qué hacer en la escuela?” Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP. http://ipes.anep.edu.uy/documentos/ger_inno_matema/acciones_2007/dos_cuartos.pdf Curti, Ma. Del Carmen (2005) – “El sistema de numeración: objeto cultural, objeto de conocimiento” en Rodríguez, B y Xavier de Mello, A. (comps.) - El quehacer matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo. Harfuch, Silvia y Foures, Cecilia (2003) – “Un análisis de las intervenciones docentes en el aula” en revista Latinoamericana de Estudios Educativos. Vol XXXIII, Nª 004. México. Lerner, Delia (1992) – “La matemática en la escuela. Aquí y ahora.” Aique Grupo Editor. Buenos Aires. Lerner, Delia y Sadovsky, Patricia (1994) – “El sistema de numeración: un problema didáctico” en Parra, C y Saiz, I. (comps) Didáctica de la Matemática. Ed. Paidós. Buenos Aires. Lerner, Delia (2005) – “¿Tener éxito o comprender? Una tensión constante en la enseñanza y el aprendizaje del sistema de numeración?” en Alvarado, Mónica; Brizuela, Bárbara Haciendo números. Paidós Educador. México.

Bibliografía básica recomendada Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP (2006) – “Cuadernos de estudio II”. ANEP. Montevideo. http://ipes.anep.edu.uy/documentos/ger_inno_matema/acciones_2007/dos_cuartos.pdf Quaranta, M. Emilia y Tarasow, Paola (2004) – “Validación y producción de conocimiento sobre las interpretaciones numéricas” en Revista Relime. Vol 7. Nº 3. Ressia, Beatriz (2003) – “La enseñanza del número y del sistema de numeración en el Nivel Inicial y el primer año de la EGB” en Paniizza, M. Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Ed. Paidós. Bs. As. Silva, Alicia (2005) – “ El Sistema de Numeración Hindú en el ojo de la tormenta” , en Rodríguez, B y Xavier de Mello, A. (comps.) El quehacer matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo. Terigi, Flavia y Wolman, Susana (2007) – “Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza” en Revista Iberoamericana de Educación. Nº 43 (2007). Xavier de Mello, Alicia (2005) – “Matemática en el primer ciclo de la escolaridad” en Rodríguez, B. y Xavier de Mello, A. (comps.)El quehacer matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo.

Bibliografía ampliatoria Baroody, Arthur. (1994) -El pensamiento matemático de los niños. Aprendizaje Visor. Madrid. Boyer, Carl (1986) - Historia de la matemática. Editorial Alianza. Méjico. Brissiaud, Remi (1993) - El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de los conjuntos. Ed. Aprendizaje Visor. Madrid. Carraher, Teresinha et al. (1990) - En la vida diez en la escuela cero.1º ed. Ed. Siglo XXI. San Pablo. Centeno, Julia (1998) - Números decimales ¿por qué? ¿para qué?. Editorial Síntesis. Madrid. Colera, José ; de Guzmán, Miguel; García, J. Emilio (1996) – Matemática 1. Edit. Anaya. Barcelona. Corbalán, F; Hans y otros (2002) – Alfa 1 .Matemáticas . Vicens Vives. Barcelona Chamorro, Ma. del Carmen (2003) – Didáctica de las Matemáticas. Edit. Pearson. Madrid. Chamorro, Ma. del Carmen - Directora del volumen- (2004) - Número, Formas y volúmenes en el entorno del niño. Secretaría General Técnica. Ministerio de Educación y Ciencias. Madrid. Hughes, Martín (1987) - Los niños y los números. Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. 1º ed. en español, Editorial Planeta.(Colec. Nueva Paideia). Barcelona.

Bibliografía ampliatoria Ifrah, Georges (1987) - Las cifras. Historia de una gran invención. Ed. Alianza Editorial, Madrid. Kamii, Constance. (1986) - El niño reinventa la aritmética. Ed. Aprendizaje Visor. Madrid. Kamii, Constance (1995) - Reinventando la aritmética: implicaciones de la Teoría de Piaget. Ed. Aprendizaje Visor. Madrid. Llinares, S; Sánchez, M.V. (1996) - Fracciones. Editorial Síntesis. Madrid. Meljac, Claire, Fischer, Paul y otros (1992) - Los caminos del número. Edit. Lawrence Erlbaum. Londres. Nunes, Teresina; Bryant, Peter (1997) - Las matemáticas y su aplicación: la perspectiva del niño. Siglo Veintiuno Editores. Méjico Panizza Mabel –comp. - (2003) - Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas. Paidós. Buenos Aires Parra, Cecilia y Saíz, Irma -comp.- (1994) - Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. 1º ed. Paidós Educador. Buenos Aires. Rodríguez, B. y Xavier de Mello, Alicia - comps.- (2005) - El quehacer matemático en la escuela. Fondo Editorial Queduca. FUM TEP. Montevideo. Sellares, R y Bassedas, M. (1983) “La construcción del Sistema de Numeración en la historia y en los niños” en Moreno, Monserrat et al. (1989) La pedagogía operatoria. Un enfoque constructivista en la educación. 4a ed. Editorial Laia. Barcelona. Silva, Alicia ( 1994) – “Taller con Delia Lerner: el sistema de numeración como problema didáctico” en Revista Educación Hoy. Nº 12. Edit. Rosgal. Montevideo. Tolschinsky, Liliana (1995) - Dibujar, escribir, hacer números en: Más allá de la alfabetización. Teberosky y Tolschinsky. Ed. Santillana, Aula XXI, Buenos Aires.