Rosa Mª Martínez Esmeralda Martínez

1ª parte Explicación teórica. 2ª parte Explicación de código 3ª parte Análisis de dos masas distintas Análisis de dos masas iguales Modos normales para N partículas

En una red cristalina el movimiento vibratorio entre los átomos adyacentes se comportan como un sistema de partículas conectados por muelles a lo largo de una línea recta.

En un sistema con N partículas y N+1 muelles (todos con la misma k) el movimiento para la partícula p se rige por: Se trata de una EDO lineal con coeficientes constantes, por lo que podemos escribirla:

¿Cómo lo resolvemos?

Relación autovectores y autovalores en los modos normales

 Ecuación de los modos normales

Código en Matlab  Consta de cuatro funciones: CrystalSimulation: Función principal del programa Verlet: Función para la integración Force: Función para calcular la fuerza: F = - k· x Simulation: Función que crea la simulación CrystalSimulation toma como valores input: Masa: vector columna Distancia inter atómica: escalar Posiciones iniciales: vector columna Velocidades iniciales: vector columna Intervalo integración: escalar Tiempo máximo: escalar Constante muelle elástica: escalar

 DOS MASAS

Análisis con dos masas distintas  Dos casos: m1 < m2 m1 = 3, m2 = 4 m1 << m2m1 = 2, m2 = 12  Para cada caso, varias posibilidades: Velocidades iguales, desplazamientos iguales Velocidades iguales, desplazamientos distintos Velocidades distintas, sin desplazamientos

Caso 1: m1 < m2

Velocidades iguales: v1 = v2 = 0 Desplazamiento de las masas: Δε1 = Δε2 = 0.5 El movimiento de las masas es semejante. Oscilan con el mismo periodo.

Desplazamiento de las masas: Δε1 = 0.5 y Δε2 = 1.5 m1 oscila según el efecto de m2. (grafica 1) Desplazamiento de las masas: Δε1 = 0.5 y Δε2 = 3.5 Cuanto mayor sea Δε2, mayor es el efecto del movimiento (grafica 2)

(grafica1)

(grafica2)

Velocidades distintas: v1 ≠ v2 En ningún caso hay desplazamientos: Cuando v1 > v2: El período de las oscilaciones de m1 es más pequeño que para m2. Valores tomados: v1 = 10, v2 = 0

Cuando v2 > v1: Aparece un efecto parecido al de esta gráfica

Caso 1: m1 << m2

Velocidades iguales: v1 = v2 = 0 Desplazamiento de las masas: Δε1 = Δε2 = 0.5 La masa más grande tiene un movimiento prácticamente independiente de la pequeña.

Desplazamiento de las masas: Δε1 = 8 y Δε2 = 0 Δε1 = 0 y Δε2 = 2 Ambos casos son muy parecidos. La Masa m1 tiene un movimiento muy alterado

Velocidades distintas: v1 ≠ v2 No hay desplazamientos de las partículas Cuando v1 > v2 es parecido a v2 > v1: Comportamiento semejante a Δε1 = Δε2 Valores tomados: v1 = 7, v2 = 0 v1 = 1, v2 = 3

Análisis con dos masas iguales Valores masas: m1 = m2 = 3 Valores velocidades: v1 = v2 = 0 Valores desplazamiento: Δε1 = 0, Δε2 = 5 Mismo movimiento para las dos partículas. Máxima amplitud para m2 → mínima amplitud para m1