Matemática 2 (EPE) Área de Ciencias MA 111 2007-1 11 de abril de 2017

Nociones Preliminares Geometría del Espacio Nociones Preliminares 11 de abril de 2017 Matemática 2

Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que las caras del techo forman 120º con las paredes. Determinar las dimensiones de las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF. A B C E F G H 16 m D 11 m ?

GEOMETRÍA DEL ESPACIO Es la parte de la Geometría que estudia los sólidos o figuras espaciales, es decir aquellas figuras cuyos puntos no pertenecen todos al plano sino al espacio tridimensional. En la generación de las figuras espaciales surgen nuevos elementos como las superficies espaciales y los planos que estudiaremos a continuación.

P P DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano queda determinado de las siguientes formas: a) Tres puntos no colineales determinan un plano. B P A C C b) Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. A P B

P P c) Dos rectas secantes determinan un plano. d) Dos rectas paralelas determinan un plano. L1 L1 // L2 L2 P

P P // Q Q Q P  Q = AB P POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS DE DOS PLANOS: P Planos Paralelos: Si no tienen ningún punto en común. P // Q Q Planos Secantes: Si se intersecan. La intersección de dos planos secantes es una recta. P  Q = AB B Q A P

P P DE UNA RECTA Y UN PLANO: Recta y Plano paralelos: Si no tienen ningún punto en común. L1 // P  L1 P Recta y plano secantes: Si tienen un punto en común llamado “pie de la recta en el plano”. L1  P = A L1 P A 

Recta contenida en el plano: Cuando la recta pasa por dos puntos del plano. B P  L OBSERVACIÓN: Si la recta L es secante al plano P y perpendicular por lo menos a dos rectas contenidas en el plano P entonces: L  P P O 

Si P // Q // R  P = Q R TEOREMA DE THALES Tres o más planos paralelos, determinan en dos rectas secantes a ellos y secantes entre sí, segmentos proporcionales. L1 L2 Si P // Q // R  P A B C C’ B’ A’ AB A’B’ = BC B’C’ AC A’C’ Q R

L1 // L2 L1 L2 = A DE DOS RECTAS: L1 Rectas Paralelas : Son aquellas que son coplanares y no tienen ningún punto común. L1 // L2 L1 L2  L1 Rectas Secantes : Son aquellas que tienen un punto en común. L1 L2 = A L2 A 

Rectas Cruzadas o Alabeadas: Son aquellas que no se cortan y no están contenidas en un mismo plano. La distancia mínima entre dos rectas alabeadas es la longitud del segmento perpendicular a ambas L2 d

PROYECCIONES A Proyección de un punto sobre un plano: Es el pie de la perpendicular al plano trazada desde dicho punto A’ A Proyección de una recta sobre un plano: Es el conjunto de las proyecciones de todos los puntos de la recta sobre dicho plano L1 B B’ A’

 es el ángulo que forma L con el plano P ÁNGULOS ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO : Es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre ese plano.  es el ángulo que forma L con el plano P L NOTA:  es el menor ángulo que forma L con cualquier recta de P que pasa por O. P  O

ÁNGULO ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN El ángulo entre dos rectas que se cruzan es aquel formado por una de ellas y una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera. L1  es el ángulo con que se cruzan L1 y L2. Por O se trazó L3 // L2 y luego se midió  . L3   L2 O

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES Si por el pie de una perpendicular a un plano trazamos otra perpendicular a una recta contenida en el plano, todo segmento que una el punto de intersección de estas dos últimas con un punto cualquiera de la perpendicular al plano, será perpendicular a la recta contenida en el plano. L1 R L1  P OH  L2  HR  L2 P L2 90º O H

A Q B P ÁNGULO ENTRE PLANOS: ÁNGULO DIEDRO Es aquel que está formado por dos semiplanos que tienen una arista común. caras Q A B P NOTACIÓN: Un diedro se denota indicando sus caras y arista. Ejm: Diedro P- AB - Q o simplemente: Diedro AB arista

MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDRO Medida del diedro AB =  La medida de un ángulo diedro está dada por la medida de su ángulo rectilíneo. El ángulo rectilíneo de un ángulo diedro está formado por dos rayos perpendiculares a la arista en un punto cualquiera, contenidos en una y otra cara del diedro. Q A B P M O  N Medida del diedro AB = 

LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTE La línea de máxima pendiente en el Plano P es aquella perpendicular a una recta horizontal contenida en dicho plano. Recta Horizontal AB = línea de máxima pendiente A P Plano Horizontal B