Matemáticas Acceso a CFGS CÁLCULO DE LÍMITES (I) Bloque III * Tema 112 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

De funciones continuas Una función polinómica, f(x)=P(x), es continua en todo su dominio, en R. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) x  a EJEMPLOS Lím x – 3 = 2 – 3 = – 1 x  2 Lím x2 + x = 32 + 3 = 9+3 = 12 x  3 Lím x3 +1 = (-1)3 + 1 = – 1 + 1 = 0 x (-1) Lím 5 + x2 – 3x = 5 + 02 – 3.0 = 5 + 0 – 0 = 5 x 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

De funciones continuas Una función radical f(x)= √ P(x), es continua en todo su dominio. Pero no tiene sentido hallar el límite en un punto ajeno a su dominio. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) x  a EJEMPLOS Lím √ x – 3 = √ 2 – 3 = √– 1  Mal, pues x= 2 no pertenece al dominio de la función. x  2 Lím √ (x2 – 5) = √ 32 – 5 = √ 4 = 2 x  3 Lím √ (x3 + 9) = √(-8+9) = √1 = 1 x (-2) Lím √ (5 + x2) = √ (5 + 02 ) = √ 5 x 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

De funciones troceadas x – 4 , si x < 2  Función lineal Sea f(x) = - 2 , si x ≥ 2  Función constante Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=2 Límite por la izquierda de x=2 Lím f(x) = x – 4 = 2 – 4 = – 2 x2- Límite por la derecha de x=2 Lím f(x) = – 2 x2+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego en x=2 existe dicho límite y vale - 2. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

De funciones troceadas x2 – 4 , si x < 1  Función cuadrática Sea f(x) = x - 2 , si x ≥ 1  Función lineal Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=1 Límite por la izquierda de x=1 Lím f(x) = x2 – 4 = 12 – 4 = – 3 x1- Límite por la derecha de x=1 Lím f(x) = x – 2 = 1 – 2 = – 1 x1+ El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=1 no existe límite de la función. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

De funciones troceadas x – 2 , si x < - 1  Función lineal Sea f(x) = 1 / x , si x ≥ - 1  Función racional Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x = -1 Límite por la izquierda de x= -1 Lím f(x) = x – 2 = (– 1) – 2 = – 2 x-1- Límite por la derecha de x= -1 Lím f(x) = 1 / x = 1 /(– 1) = – 1 x-1+ El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=-1 no existe límite de la función. Nota: En x=0, al no pertenecer al dominio, podría no haber límite. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

De cociente de funciones Una función racional, f(x)= P(x) / Q(x), es continua en todo su dominio, excepto en los puntos en que el denominador, Q(x), vale cero. Sin embargo, en dichos puntos la función puede tener límite, aunque sea discontinua. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) , simplificando la expresión. x  a EJEMPLOS x2 - x x . (x -1) Lím ------------ = Lím -------------- = Lím x – 1 = 0 – 1 = - 1 x  0 x x  0 x x  0 x2 - 9 (x + 3) . (x – 3) Lím ------------ = Lím ---------------------- = Lím x + 3 = 3+3 = 6 x  3 x – 3 x  3 (x – 3) x  3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Indeterminada [0 / 0] Sabemos que 0 / k = 0 siempre. Sabemos que k / 0 = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. (x-a) . C1(x) C2(x) Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím ------------------ = Lím --------- xa xa (x-a). C2(x) xa C2(x) Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 x3 - 8 8-8 0 lím ------‑‑‑‑‑‑ = ‑----- = [---] = [ Factorizando por Rufinni…] x2 x - 2 2-2 0 1 0 0 - 8 2 2 4 8 1 2 4 0 (x -2) (x2 + 2x + 4 ) 22 + 2.2 + 4 12 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑----------- = ---------------- = ----- = 12 x2 (x- 2) 1 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 2 x3 - 2 √ 2 2 √ 2 - 2 √ 2 0 lím ------‑‑‑‑‑---‑ = ‑----------------- = [---] = [ Factorizando ..] x √ 2 x2 - 2 2 – 2 0 1 0 0 - 2 √ 2 √ 2 √ 2 2 2 √ 2 1 √ 2 2 0 (x - √ 2) (x2 + √ 2x + 2 ) 2 + 2 + 2 6 3 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------------------ = ---------------- = --------- = ---- = x √ 2 (x- √ 2) (x + √ 2 ) 2 √ 2 2 √ 2 √2 = 3. √2 / 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 3 x2 - 1 1 – 1 0 lím ----------‑‑‑‑‑‑ = ‑-------- = [---] = [ Factorizando …] x1 x2 – 2x + 1 1-2+1 0 1 - 2 1 1 1 - 1 1 - 1 0 (x – 1 ).(x + 1) 1 + 1 2 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------- = ---------- = ----- = oo x1 (x – 1).(x – 1 1 – 1 0 No existe límite en x=1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS