PROBABILIDADES Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y Físicas Prof. Juan Moncada Herrera

Intervalos de Confianza Aleatorias No aleatorias Probabilidades Distribuciones Parámetros VARIABLES Datos Estimadores MUESTRA ALEATORIA Muestreo REALIDAD – POBLACIÓN – PROBLEMA Intervalos de Confianza Pruebas de Hipótesis ANOVA Estadística Descriptiva INFERENCIA ESTADÍSTICA

NOCIONES DE PROBABILIDADES

NOCIONES DE PROBABILIDADES Fuente: http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/INICIO.HTML; 04/12/2008

¿De qué se hacen cargo? INCERTIDUMBRE Falta de información Azar NOCIONES DE PROBABILIDADES ¿De qué se hacen cargo? Falta de información Azar Variabilidad INCERTIDUMBRE

Los grandes aportes … NOCIONES DE PROBABILIDADES Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695)

Los grandes aportes … NOCIONES DE PROBABILIDADES Newton (1643-1727) J. Bernoulli (1654-1705) De Moivre (1667-1754)

Los grandes aportes … NOCIONES DE PROBABILIDADES Bayes (1707-1761) Laplace (1749-1827) Gauss (1777-1855)

Los grandes aportes … NOCIONES DE PROBABILIDADES Chebyshev (1821-1894) Markov (1856-1922) Börel (1871-1956)

Los grandes aportes … NOCIONES DE PROBABILIDADES Mises (1883-1953) Lèvy (1886-1971)

Los grandes aportes … NOCIONES DE PROBABILIDADES Kolmogorov (1903-1987) Feller (1906-1970)

Probabilidad = Medida de la incertidumbre NOCIONES DE PROBABILIDADES ¿Y qué es (qué son) …? Probabilidad = Medida de la incertidumbre

Enfoques … Clásico (Regla de Pascal) Frecuentista NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Clásico (Regla de Pascal) Frecuentista Bayesiano o subjetivo Axiomático

Enfoques … Clásico (Regla de Laplace) NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Clásico (Regla de Laplace) Laplace (1749-1827) Cuociente entre casos favorables y casos posibles, siempre que todos los casos sean igualmente probables.

Enfoques … Frecuentista NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Frecuentista Cuociente entre frecuencia observada del suceso y el total de observaciones del suceso cuando el experimento se realiza un número grande veces.

Enfoques … Bayesiano o subjetivo Grado de creencia o juicio personal. NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Bayesiano o subjetivo Bayes (1702-1761) Grado de creencia o juicio personal.

Enfoques … Axiomático No se define probabilidad, propiamente tal. NOCIONES DE PROBABILIDADES Enfoques … Axiomático No se define probabilidad, propiamente tal. Hay un conjunto de axiomas, de los que se deduce la teoría. Kolmogorov (1903-1987)

 Cálculo de probabilidades Base empírica: Experimentos aleatorios NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Base empírica: Experimentos aleatorios  Espacio muestral: A   Suceso o Evento:

Cálculo de probabilidades NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades: Existe probabilidad de un suceso:

 Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades: Ejemplo: NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades: Ejemplo: Se selecciona aleatoriamente un asistente a la clase de hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer? Evento A: Ser mujer Espacio muestral : {mujer, … , hombre} Número de elementos de A =  Número de elementos de  =

Cálculo de probabilidades NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Propiedades fundamentales: A y B eventos de un espacio muestral  P() = 0 P() = 1 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) P(Ac) = 1 – P(A), Ac evento complementario de A

Cálculo de probabilidades NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Probabilidad Condicional: A y B eventos de un espacio muestral 

 Cálculo de probabilidades Independencia de eventos: NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Independencia de eventos: A y B eventos de un espacio muestral  A y B independientes si: 

Cálculo de probabilidades NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Probabilidad Total: Teorema. Sea E1, E2,...,En una partición de E   (esto significa que ij, Ei  Ej  , y Ei =E). Entonces: P(E) =  P(E | Ei) P(Ei), para i = 1,2,...,n

Cálculo de probabilidades NOCIONES DE PROBABILIDADES Cálculo de probabilidades Teorema de Bayes: Si E1, ... , En son n eventos mutuamente independientes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir, P(Ei) = 1, entonces, para un evento dado A:

Distribuciones de Probabilidades Variables aleatorias Y Distribuciones de Probabilidades

Variables aleatorias: Definición DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Variables aleatorias: Definición Discretas Continuas Recorrido de X es finito o infinito numerable Recorrido de X es infinito

Distribuciones de probabilidades X p(x) = P[X=x] f(x) x1 … xk  X discreta  Función de probabilidad  X continua  Función de densidad X discreta  X continua 

Distribución Acumulada DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución Acumulada Caso discreto: X P[X=x] = p(x) x1 p1 x2 p2 x3 p3 … xk pk

Distribución Acumulada DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución Acumulada Caso discreto: X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X  x] x1 p1 x2 p2 p1+p2 x3 p3 p1+p2+p3 … xk pk pi = 1

Distribución Acumulada DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Distribución Acumulada Caso discreto: Caso continuo: X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X  x] x1 p1 x2 p2 p1+p2 x3 p3 p1+p2+p3 … xk pk pi = 1

Medidas de resumen de una v.a. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Tendencia central X discreta Media Valor esperado Esperanza matemática X continua Propiedades:

Medidas de resumen de una v.a. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Tendencia central Mediana X discreta Moda X continua

Medidas de resumen de una v.a. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Posición Extremos Cuartiles Quintiles Deciles

Medidas de resumen de una v.a. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Medidas de resumen de una v.a. Dispersión Rango Varianza Propiedades: Desviación estándar

Proceso de estandarización DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Proceso de estandarización

Variables aleatorias: Parámetros DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Variables aleatorias: Parámetros PARÁMETRO: Rasgo, característica, propiedad fija o constante de una población. Las medidas de resumen de una variable aleatoria son parámetros. Los parámetros determinan la distribución de probabilidades.

Variables aleatorias: Resumen DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES Variables aleatorias: Resumen Definición-Contexto-Problema Discretas Valores Parámetros Continuas Función de probabilidad Función de densidad Medidas de resumen Distribución Acumulada

MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Distribución Bernoulli DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Experimento de base: Todo experimento aleatorio que tenga sólo dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, que pueden denominarse Éxito y Fracaso. P[Éxito] = p P[Fracaso] = 1 – p = q Variable aleatoria – Definición: Número de Éxitos observados en un ensayo. Usos – aplicaciones: Muy poco. Electrónica, proceso binarios en general.

Distribución Bernoulli DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Variable aleatoria – Valores: 0 y 1 Parámetros: p: Probabilidad de éxito Notación: X  Ber(p)

Distribución Bernoulli DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Función de distribución de probabilidades: X P(X = x) = p(x) 1 – p 1 p x = 0,1 p(x) = px(1–p)1-x ; Función de distribución acumulativa: X P(X = x) = p(x) F(x) = P(X  x) 1 – p 1 p (1 – p) + p = 1

Distribución Bernoulli DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución Bernoulli Propiedades: X  Ber(p)

Distribución binomial DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Experimento de base: Realización de n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p. Variable aleatoria – Definición: Número de Éxitos observados en n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p. Usos – aplicaciones: Control de calidad, tratamientos de encuestas …

p: Probabilidad de éxito DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Valores de la variable: 0, 1, 2, …, n Parámetros: n: Número de ensayos p: Probabilidad de éxito Notación: X  bin(n , p)

Distribución binomial DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Función de distribución de probabilidades: Función de distribución acumulativa:

Distribución binomial DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Cálculo de probabilidades acumulativas:

Distribución binomial DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución binomial Propiedades: X  bin(n , p)

Distribución de Poisson DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Experimento de base: Observación de la ocurrencia de eventos en un espacio (intervalo) determinado (fijo). Variable aleatoria – Definición: Número de eventos que ocurren de manera aleatoria e independiente, a una tasa constante , en un espacio o intervalo determinado. Usos – aplicaciones: Fenómenos de espera, fenómenos de transporte …

: Tasa promedio de ocurrencia de los eventos DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Valores de la variable: 0, 1, 2, … Parámetros: : Tasa promedio de ocurrencia de los eventos Notación: X  P()

Distribución de Poisson DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Función de distribución de probabilidades: Función de distribución acumulativa:

Distribución de Poisson DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Cálculo de probabilidades acumulativas:

Distribución de Poisson DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Distribución de Poisson Propiedades: X  P ()

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Si existe una constante  tal que p =  / n, entonces:

MODELOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Distribución Uniforme DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Uniforme Experimento de base: Seleccionar aleatoriamente un número en un intervalo real (a,b), y registrar su valor. Variable aleatoria – Definición: Número real seleccionado aleatoriamente en un intervalo (a,b). Usos – aplicaciones: Generación de números aleatorios, informática, …

Distribución Uniforme DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Uniforme Valores de la variable: Parámetros: Notación:

Distribución Uniforme DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Uniforme Función de densidad: Función de distribución acumulativa:

Distribución Uniforme DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Uniforme Propiedades: X  U(a , b)

¡CUIDADO! MUCHO no significa TODO DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal La variable: Muchas variables continuas relativas a mediciones: Físicas: Longitud, altitud, temperaturas, velocidad de… Biológicas: Talla, peso, ritmo cardiaco, presión arterial, Psicológicas: Inteligencia, habilidades, destrezas, etc. ¡CUIDADO! MUCHO no significa TODO

Distribución Normal Los valores de la variable: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Los valores de la variable: Depende del problema en estudio. Teóricamente, cualquier valor real.

Distribución Normal Los parámetros: Dos parámetros. Se simbolizan por: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Los parámetros: Dos parámetros. Se simbolizan por: y Corresponden a la media y desviación estándar

Distribución Normal Función de densidad y gráfico: Campana de Gauss DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Función de densidad y gráfico: Campana de Gauss

Distribución Normal Función de distribución acumulada: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Función de distribución acumulada:

 Distribución Normal La normal estándar: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal La normal estándar: 

PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 __________________________________________________________ 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998 3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 Probabilidades acumuladas:

Distribución Normal Un ejemplo: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Un ejemplo: En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades se distribuyen de acuerdo a una ley normal, se desea saber: a) Cuántos sujetos hay por debajo de 80 años. b) Cuántos sujetos hay por encima de 65 años. c) A partir de qué edad se sitúa el 10% más viejo.

Distribución Normal Un ejemplo: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Un ejemplo: En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades se distribuyen de acuerdo con la curva normal, se desea saber: Solución parte a): Sea X: Edad de las personas estudiadas Se tiene: Se pide:

Distribución Normal Un ejemplo: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Un ejemplo: Opciones de la Hoja de Cálculo de OpenOffice

Distribución Normal Un ejemplo: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Un ejemplo: Pero:

PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 __________________________________________________________ 0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998 3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 82.38% de 489 son 403 personas

Distribución Normal Aproximación de De Moivre Laplace DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Aproximación de De Moivre Laplace Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Entonces, si n tiende a infinito: Nota: La aproximación ya es buena para n>30, y mejor mientras p sea cercano a 0.5.

Distribución Normal Aproximación de De Moivre Laplace DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Distribución Normal Aproximación de De Moivre Laplace n=30, p=0.4 n=80, p=0.7 n=200, p=0.5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES: ¿CUÁL EL PROBLEMA? EL DESCONOCIMIENTO DE LOS PARÁMETROS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES: ¿CUÁL LA SOLUCIÓN? ESTÁ EN EL MUESTREO

Sugerencias Bibliográficas DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES Sugerencias Bibliográficas Daniel W.: Estadística con aplicaciones a las ciencias sociales y a la educación. McGraw-Hill. Mexico, 1997. Canavos G.: Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill. México, 1995.