Operaciones con Polinomios LIC. MAT. HELGA KELLY QUIROZ CHAVIL

Operaciones con Polinomios Suma: Reducción de Términos semejantes División: Algoritmo de la división Leyes de los exponentes Leyes de los signos Operaciones con Polinomios Multiplicación Propiedad distributiva Leyes de los exponentes Leyes de los signos Resta: Signo “–” precediendo un signo de agrupación Reducción de términos semejantes

Suma y resta de Polinomios La suma o la resta de dos monomios con grados distintos es un binomio. La suma o la resta de tres monomios con grados distintos es un trinomio. Para sumar polinomios tenemos que asociar términos semejantes y sumar o restar sus coeficientes.

Ejemplos: Sean los siguientes polinomios P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x Hallar P(x)+Q(x) 2P(x)+3Q(x) P(x)-5Q(x)

Ejemplos: Calcular: (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) =

Multiplicación de Polinomios Multiplicación de expresiones algebraicas Se cumple la ley conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto: a x b = b x a También se cumple la ley distributiva: a x b x c = a (b x c) = c (a x b)

Ley de los signos El producto de términos con signos iguales da como resultado otro término con signo positivo, y el producto de términos con signos diferentes da como resultado otro término con signo negativo.

Multiplicación de monomios por polinomios Para multiplicar monomios por polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta Ejemplo: Multiplicar: 6 𝑥 3 (4 𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 5 +1/2 𝑥 4 )= 3x4 ( 5x3 - 2x + 2x2 – x + 3)=

Multiplicación entre polinomios Para multiplicar dos polinomios se ordena el polinomio multiplicando y se efectúan los productos entre todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, se tiene en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes. Ejemplos : Multiplicar (6x-4y)(5x+3y) (6 𝑥 3 +4 𝑥 2 + 𝑥)(6𝑥 2 − 𝑥 5 +2 𝑥 4 )=

Casos particulares: a) Cuadrado de un binomio: Cubo de un binomio: c) Suma por diferencia de binomio

División de polinomios por monomios Ejemplos: Dividir: (6 𝑥 6 −4 𝑥 5 +6𝑥 4 −8 𝑥 3 +2 𝑥 2 )≑2 𝑥 2 (12 𝑥 7 − 24𝑥 6 −6𝑥 4 +4 𝑥 3 +16𝑥)≑4 𝑥 2 (3/2 𝑥 6 −1/3 𝑥 5 +27𝑥 4 −18 𝑥 6 −9 𝑥 3 )≑3 𝑥 3

División entre polinomios Ejemplos: Resolver la división de polinomios: P(x) = 4x3 −8x - 4         Q(x) = 4 x + 4

Ejemplos: Resolver la división de polinomios: (6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3) : (3x3 – 5x2 + 3) (4x3 – 2x2 + 8x – 4) : (2x2 – 4x + 1)  (x3 – x2 – x – 2) : (x2 + x + 1) (6x3 – 5x2 + x) : (2x – 1)

TEOREMA DEL RESTO Si C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división de un polinomio cualquiera P(x) entre el binomio (x – a), aplicando el algoritmo de la división: P(x) = C(x) · (x – a) + R(x) Luego, el valor numérico de P(x), para x = a, es igual al resto de su división entre x – a, es decir: P(a) = C(a) · (a – a) + R(a) = R(a)

Ejemplos: Calcular el resto de x5 + 3x4 – 2x3 + 4x2 -2x +2 entre x+3

Ejemplos: Hallar el resto utilizando el teorema: (x4 – 16) : (x – 2) = (–x2 + x + 1) : ( (x + 3) = (x5 + x – 2x3) : (x – 1) = 2. Hallar el valor de m y n para que el polinomio P(x) = 𝑥 3 +𝑚 𝑥 2 +𝑛𝑥+6 sea divisible por (x + 3) y por (x – 2).

Métodos de Factorización Factor común de dos o más términos El factor común de dos o más términos es el término formado por el mcd de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponente de las literales comunes a todos ellos. Ejemplo: Factorizar el polinomio:

Ejemplos: Factorizar: (x5 y+ 2x3 y – 8) (6x5 y4 – 24x3 y2 + 12x 𝑦 3 – 3 𝑥 5 𝑦 6 ) (16x8 y5 – 24x4 y3 + 44x 𝑦 6 – 40 𝑥 4 𝑦 8 ) (25x5 y5– 20x3 y8 + 35x 𝑦 5 – 45 𝑥 8 𝑦 7 )

ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar trinomios de la forma ax2 +bxy +cy2 Cuya solución es:

Ejemplos: Resolver: x2 + 5x + 6 x2 -7x -8 x2 +9x + 10

Se utiliza para factorizar polinomio de la forma Ejemplo: Factorizar: MÉTODO DEL ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomio de la forma Ejemplo: Factorizar:

Método de Paolo Ruffini Ejemplo: Factorizar Solución: Divisores del término independiente Posibles “ceros”: + 1, + 2, + 4 Se anula para x=1 entonces x-1 es el factor

Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces reales e imaginarias Cálculo de raíces de un polinomio Recordamos que un número a es raíz de un polinomio, si el polinomio se anula para ese valor, o sea, P(a)=0

Cálculo de la raíz de un polinomio de grado 1 Se calcula de la siguiente manera: Ejemplo: Hallar la raíz del polinomio

Cálculo de las raíces de un polinomio de grado 2 Sus raíces x1 y x2 se obtienen igualando a cero el polinomio de forma aplicando la fórmula tenemos :

Ejemplos: Dado el polinomio hallar sus raíces Solución: .

Ejemplos Resolver:

Ecuaciones e Inecuaciones Ecuaciones de primer grado Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas. Ejemplo: 7 (x + 1) – 4 (x + 3) = x – 9

Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones: 9x – 45 + 4x – 16 = 4 3 · (x – 2) + 9 = 0 8x + 7 – 2x + 5 = 4x + 12 – (x – 30)

Ecuaciones Fraccionarias Ejemplos: Resolver: a) c) d)

Ecuaciones de Segundo Grado: Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la forma general: ax2 + bx + c = 0 ; a0 La ecuación de 2do Grado posee dos “raíces” que cumplen con la ecuación.

Ejemplos: Hallar sus raíces 𝑥 2 – 25 = 0 𝑥 2 + 3x = 0 𝑥 2 – 6x + 5 = 0

Intervalos Intervalo abierto Intervalos abierto (a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b (a,b)={x ∊R/a‹x‹b} a b

Intervalo Cerrado Intervalo cerrado [a,b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores iguales que b. [a,b]={x ∊R/a≤x≤b} a b

Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda (a,b], es el conjunto formado de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b (a,b] = {x ∊R/a ‹ x ≤ b} a b

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha [a,b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b [a,b) = ]={x ∊R/a ≤ x ‹ b} a b

Semirectas •Intervalo infinito abierto por la derecha •Intervalo infinito cerrado por la derecha •Intervalo infinito abierto por la izquierda •Intervalo infinito cerrado por la izquierda

INECUACIONES LINEALES Ejemplos: Resolver 3 x – 2 < 1 5 + 3 x  4 - x

Resolver las siguientes desigualdades 3x – 1 ≤ x+7 13x + 2 ≥ 10x + 35 4x + 24 ≻ 2x + 54 8x + 25 ≥ x – 33 2x + 14 ≤ 3x + 26

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Determina la solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas: x2 – 1  0  8x2 + 5x  0  x(x – 3) – 2x(x – 2) + 3x < 0