TECNICAS DE EVALUACIÓN DE ALGORITMOS DE APRENDIZAJE UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA GRUPO DE INVESTIGACIÓN AYRNA TECNICAS DE EVALUACIÓN DE ALGORITMOS DE APRENDIZAJE RED DE MINERIA DE DATOS. Madrid Mayo 2004 César Hervás Martínez

TEST DE COMPARACIONES DE ESTADISTICOS DE LOCALIZACIÓN X1, X2, …Xn Test de normalidad de Kolmogorov-Smirnov de los resultados obtenidos Test t de student Contraste de normalidad Test paramétrico Anova I Si No Test no-paramétrico de Friedman Comparaciones de medias Comparaciones de medianas Test de comparaciones múltiples, Duncan, SNK, Bonferroni Tamhane Comparaciones de medias Ordenación de medianas

Ejemplo. COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS UTILIZING HYBRID GENETIC ALGORITHMS. Diseño experimental: 30 ejecuciones para cada problema de optimización propuesto Variable de contraste: Valores obtenidos de la función optima en la última generación Test de hipótesis: Contraste múltiple de medias bajo las hipótesis de normalidad de las distribuciones e independencia (ANOVA I) Contraste de normalidad previo: Test de Shapiro-Wilks o (Kolmogorov-Smirnov) Contrate de independencia previo: Test de correlaciones parciales (no realizado en el articulo) o P de Pearson o de máxima verosimilitud Contraste de igualdad de varianzas: Test de Barlett o Test de Levene (no realizado en el articulo)

Ejemplo. COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS UTILIZING HYBRID GENETIC ALGORITHMS Factor: Tipo de estrategia de búsqueda utilizada. Niveles (12): N Algoritmo Genético; 0 AG+BL (Baldwinismo puro); 5 (primer nivel de Lamarkismo parcial), …, 95 (último nivel de Lamarkismo parcial), 100  (Lamarkismo puro) Nivel de significación = 0.01 Regla de decisión: Si (p-value o Sig) > 0.01 Entonces existen diferencias significativas en las medias de las 12 diferentes estrategias de búsqueda o niveles del factor.

UTILIZING HYBRID GENETIC ALGORITHMS Ejemplo . COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS UTILIZING HYBRID GENETIC ALGORITHMS Test de hipótesis (ANOVA I) Este contraste plantea en su hipótesis nula que las medias poblacionales de k poblaciones independientes son iguales H0: 1 = 2 = ... = k donde k es el número de grupos experimentales o muestras frente a la hipótesis alternativa de que alguna media es diferente Región de aceptación C0 = {F* < Fk-1,N-k ()} Siendo  el nivel de significación del contraste, que toma por lo general valores de 0.01; 0.05 y 0.1 Regla de decisión Si F* < Fk-1,N-k ()  Se acepta la hipótesis nula

Ejemplo. COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS UTILIZING HYBRID GENETIC ALGORITHMS TABLA (ANOVA I) Fuente de Variación S. de C. G. de L. Media de Cuadrados F* Modelo o dentro del grupo SCM k-1 MCM= SCF/(k-1) MCM/MCE Residual o entre grupos SCE N-k MCE= SCE/(N-k) Total SCT N-1 SCM= SCE= SCT=

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Test de hipótesis (ANOVA I) La prueba de homogeneidad de varianzas implica que como 0.939 es mayor que 0.05 que es valor habitual del nivel de significación, la varianzas poblacionales son iguales. La Tabla ANOVA nos indica que al ser 0.000 inferior al valor 0.05 valor habitual del nivel crítico deberemos de rechazar la hipótesis nula

Ejemplo . COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Si Existen diferencias significativas, esto es, si se rechaza la hipótesis nula del test ANOVA I, Entonces Test de Comparaciones Múltiples para igualdad de varianzas utilizados en el articulo: Test Duncan, (minimización de la función de pérdida Bayesiana), Test de Student-Newman-Keuls (SNK) (test de rangos múltiple utilizado en una aproximación multietapa) Test de Ryan, Einot, Gabriel and Welsch (REGW) (utiliza también una aproximación multietapa que controla la proporción máxima de error del experimento bajo cualquier hipótesis parcial o completa) SAS v6.09 Test de Comparaciones Múltiples para varianzas distintas Test de Tamhane SPSS 11.0

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Si Existen diferencias significativas, esto es, si se rechaza la hipótesis nula del test ANOVA I, Entonces Test de Comparaciones Múltiples: Test de Student-Newman-Keuls Es un test análogo al de Duncan, pero difiere de este en que el valor crítico del contraste se obtiene a través de las Tablas del “recorrido studentizado”, valor del extremo superior qp,GLE, . Método: En primer lugar, se ordenan, por ejemplo de menor a mayor, las medias poblacionales según el orden de sus medias muestrales y se plantean contrastes sucesivos de hipótesis entre pares de medias poblacionales, de la forma

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Si Existen diferencias significativas, esto es, si se rechaza la hipótesis nula del test ANOVA I, Entonces Test de Comparaciones Múltiples: Test de Student-Newman-Keuls El estadístico de Student-Newman-Keuls, es q = Siendo MCE la media de cuadrados del error obtenida en la Tabla ANOVAI, y siendo n1 y n2 los tamaños muestrales de los niveles 1 y 2 del factor Región de aceptación C0= {0; qp,GLE, } Regla de decisión Si q C0  Se acepta la hipótesis nula

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Test de Comparaciones Múltiples: Test de Student-Newman-Keuls - Comparación B versus A SE q p q0.05,25, p Conclusiones 5 vs. 1 58.3-32.1=26.2 1.28 20.47 5 4.166 Rechazamos 5= 1 5 vs. 2 58.3-40.2=18.1 14.4 4 3.901 Rechazamos 5= 2 5 vs. 3 58.3-41.1=17.2 13.44 3 3.532 Rechazamos 5= 3 5 vs. 4 58.3-44.1=14.2 11.09 2 2.919 Rechazamos 5= 4 4 vs. 1 44.1-32.1=12.0 9.38 Rechazamos 4= 1 4 vs. 2 44.1-40.2=3.9 3.05 Aceptamos 4= 2 4 vs. 3 No se contrasta 3 vs. 1 41.1-32.1= 9.0 7.03 Rechazamos 3= 1 3 vs. 2 2 vs. 1 40.2-32.1= 8.1 6.33 Rechazamos 2= 1 5> 1, 5> 2, 5> 3, 5> 4, 4> 1, 4= (3)= 2, 3> 1, 2> 1, tres clases, la primera con la población1, la segunda con 4, 3 y 2 y la tercera con 5

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Diferencia - Test de Comparaciones Múltiples: Test de Student-Newman-Keuls

Estratégia de búsqueda Ejemplo 2. COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS Rango de sol. test SNK Estratégia de búsqueda Problema N 5 10 20 40 50 60 80 90 95 100 Brown-20 3 2 1 Corana-20 4 8 7 6 Griewank-20 Rastrigin-20 Schwefelds-20 Otros

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS GENÉTICOS HIBRIDOS: RESULTADOS La Tabla muestra el rango de los subconjuntos de las aptitudes finales de las mejores soluciones obtenidas para cada estrategia de búsqueda, donde 1 representa el mejor rango y 7 el peor. Todas las estrategias que emplean al menos un 20% de aprendizaje Lamarkiano encuentran de forma consistente la solución final para los diferentes problemas de test. El AG sin procedimiento de mejora local, N, se incluye para proporcionar una comparación con el procedimiento híbrido de búsqueda local. Para la mayoría de los problemas de test, el uso de procedimientos de mejora local LS aumenta significativamente la eficiencia de un AG

Ejemplo 2. COMPARACIÓN DE ALGORITMOS DE COMITES DE DECISIÓN MULTIBOOSTING Diseño experimental: 10 validaciones cruzadas para cada conjunto de clasificación Variable de contraste: valores obtenidos de los errores de clasificación para 36 bases de datos del repositorio de la UCI Test de hipótesis: Contraste de signos: Test de Shapiro-Wilks o (Kolmogorov-Smirnov) Poblaciones (5): 1 C4.5; 2 Bagging; 3 (Wagging), 4  (AdaBoost); 5 (MultiBoost) Nivel de significación = 0.05 Regla de decisión: Si (p-value o Sig) > 0.05 Entonces existen diferencias en los rangos de buena clasificación par las 36 bases de datos para cada par de algoritmos de clasificación utilizados

Comparación de errores para t=10 COMPARACIÓN DE ALGORITMOS DE COMITES DE DECISIÓN Comparación de errores para t=10 Algoritmo C4.5 Bagging Wagging AdaBoost MultiBoost Media de 36 conj 0.177 0.159 0.164 0.161 0.156 r 0.889 0.930 0.845 0.826 s 30/3/3 28/4/4 25/1/10 29/1/6 p <0.001 0.017 1.046 0.950 0.929 10/1/25 16/2/18 21/2/13 0.864 0.229 0.908 0.888 20/2/14 23/2/11 0.392 0.058 Adaboost 0.977 21/4/11 0.110

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS DE COMITES DE DECISIÓN La Tabla siguiente proporciona para t= 10, esto es para una validación cruzada con 10 particiones, un resumen de comparaciones del error obtenido por cada algoritmo sobre el conjunto de las 36 bases de datos. Por filas se indica el error medio sobre un conjunto de datos para el algoritmo etiquetado en la fila Por columnas se indica el error medio para el algoritmo etiquetado en la columna. La primera fila representa el error medio a través del conjunto de las 36 bases de datos. La etiqueta r presenta la media geométrica de la proporción de error col/fila. La etiqueta s representa el número de comparaciones donde el algoritmo fila ha sido ganador (en error medio), ha empatado o ha perdido en las 36 bases de datos cuando ha competido con el algoritmo columna.

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS DE COMITES DE DECISIÓN La etiqueta p representa el nivel crítico del contraste bilateral del test de signos aplicado a cada par de algoritmos fila/columna, utilizando sólo los registros ganador/perdedor, esto es un test donde contrastamos si perder o ganar de un algoritmo frente a otro son sucesos aleatorios equiprobables. Las hipótesis son Ejemplo los resultados de contrastar el rendimiento en clasificación de las 36 bases de datos por AdaBoost frente a MultiBoost, son 21/4/11, pero si eliminamos los empates tenemos = 21/32 como proporción de veces sobre 32 bases de datos en las que AdaBoots gano en error a MultiBoost.

COMPARACIÓN DE ALGORITMOS DE COMITES DE DECISIÓN Si consideramos que n= 32 es suficientemente grande y utilizamos el Teorema Central del Límite, entonces la distribución asintótica es Regla de decisión: Como 21/32= 0.656  (0.327, 0.673)  Se acepta la hipótesis nula, por lo que se acepta que el valor de p= 0.5. También como el nivel crítico o p-value es 0.078 y Regla de decisión es ahora: Como 0.05 < 0.078 se acepta la hipótesis nula de que p= 0.5. El valor difiere del de la tabla (0.110) puesto que nosotros hemos utilizado una aproximación a una distribución Normal y no la distribución binomial exacta

Tabla de contingencia de la regla (A  B). Ejemplo. MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS Tabla de contingencia de la regla (A  B). B Bc Total A n(AB)=n11 n(ABc)=n12 n1. Ac n(AcB)=n21 n(AcBc)=n22 n2. n.1 n.2 n

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS

Sop Conf Int CF 2 MI S PRP  0.370 1.000 1.227 41.727 0.674 2.020 BASE DE DATOS DE 265 REGLAS EXTRAÍDAS MEDIANTE GBGP EN UNA BASE DE DATOS EN ENTORNO EDUCATIVO REGLA 1.- Si TIEMPO. TESTF_ADMINISTRACION-ALTA(0)= ALTO Entonces ACIERTO.TESTF_ADMINISTRACION-ALTA(0)= NO REGLA 2.- Si NIVEL. EMULADORES_PROGRAMAS-ALTA= EXPERTO Entonces ACIERTO. EMULADORES_PROGRAMAS-ALTA(1)= NO VALORES DE LAS 9 MEDIDAS PROPUESTAS PARA LAS TRES PRIMERAS REGLAS Sop Conf Int CF 2 MI S PRP  0.370 1.000 1.227 41.727 0.674 2.020 0.069 0.366 0.259 0.540 1.211 0.169 16.154 0.560 0.984 0.045 0.182 0.296 0.800 1.964 0.662 19.236 0.763 0.718 0.145 0.613

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS Test de Kolmogorov-Smirnov (K-S) cuyos resultados se muestran en la Tabla, indica que para todas medidas excepto para MI se rechaza la hipótesis nula de normalidad para un = 0.05, puesto que los niveles críticos, o valores p, son respectivamente 0.00 o 0.01 a excepción de MI cuyo valor es 0.08. Métrica Sop Conf Int FC 2 IS E PRP  Media 0.29 0.61 1.17 0.17 23.03 0.57 1.46 0.03 0.13 Des 0.10 0.16 0.27 0.28 16.96 0.89 0.06 0.26 Z K-S 2.58 2.37 2.57 2.27 2.84 1.26 3.82 2.12 1.62 p 0.00 0.08 0.01 Con estos resultados el test de comparaciones más adecuado es el de igualdad de medianas de valores de aptitud dados por las nueve medidas para las 265 reglas propuestas; por lo que hacemos un test no-paramétrico de Friedman considerando poblaciones independientes

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS TEST DE FRIEDMAN El estadístico F de Friedman es de la forma: F= siendo S= donde n es el tamaño muestral, 265 en nuestro caso, k el número de poblaciones a comparar, 9 en nuestro caso, Ri la suma de los rangos de todos los individuos de la población i-ésima y que se muestran en la tabla. Mét Sop Con Int FC 2 MI S PRP  R. 3.48 5.58 7.46 2.62 9.00 5.37 7.51 1.60 2.38 Ri 922.2 1478.7 1976.9 694.3 2385 1423.1 1990.2 424 630.7 Tabla Rango promedio y Suma de los rangos de las métricas, Ri, para todas las reglas.

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS La región de aceptación unilateral del contraste es C0 = (0; F), donde F se obtiene a partir de unas tablas construidas por Friedman para muestras de tamaño pequeño o si el tamaño es mayor de 30 Regla de decisión “Si FC0 Se acepta la hipótesis nula para un nivel de confianza , prefijado”. Con los resultados anteriores C0 = (0; ), siendo = 15.51 y por tanto F= 1908.5 C0, pues 1908.5 > 15.51. Se rechaza la hipótesis nula de igualdad de medianas en los valores de aptitud para las 9 métricas propuestas, para un nivel de confianza del 95% Test no parametricos de comparaciones múltiples de medianas, no existentes en nuestro conocimiento Test de Wilcoxon de pares de variables dependientes. La cuestión es que habría que realizar 36 contrastes.

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS TEST DE WILCOXON Utilizaremos la mediana M de la diferencia de aptitudes proporcionadas por cada una de las dos métricas como parámetro de localización dado que las distribuciones de las variables X e Y son desconocidas y las hipótesis de normalidad no son apropiadas. El contraste bilateral se plantea en la forma: Hipótesis

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS TEST DE WILCOXON El estadístico de contraste se construye a través de dos variables auxiliares, transformaciones de X e Y. Z= |X-Y| y S= sig.(X-Y), y utilizaremos los valores muestrales de las citadas transformaciones zi y si Los rangos de los n valores de zi, se obtienen de forma tal que ri= rang.(zi) y con estos valores se define el estadístico. W- = La región de aceptación de la hipótesis nula es C0= (W1-/2, W/2) y la distribución de W- para muestras de tamaño mayor de 30, como es nuestro caso, se demuestra que converge a una normal

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS PRIMERAS CONCLUSIONES Las salidas de SPSS de la Tabla muestran los valores de W- y de p-value de las comparaciones de las medianas de cada métrica con todas las demás métricas, donde se observa que existen diferencias significativas entre cada par individual de medianas para = 0.05, dado que el nivel crítico es 0.00 o 0.02. De esta forma podemos concluir que la distribución de las medidas de las reglas obtenida por una métrica cualquiera es diferente de las distribuciones de las medidas de las reglas para las otras ocho métricas para cualquier valor de .

MÉTRICAS PARA LA VALORACIÓN Y ORDENACIÓN DE REGLAS Conf Int FC 2 MI S PRP Sop -14.12 -14.11 -7.43 0.00 -13.95 -5.38 -14.10 -14.16 -3.03 0.02 -13.77 -8.83 -14.08  -14.02 -3.35 -7.53 0.001

ANALISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES (C. P.) Contraste de Kaiser-Meyer-Olkin asociado a medir la relación entre las 9 métricas a través de sus coeficientes de correlaciones parciales X1, X2, …,Xn Contrastes de adecuacidad Un nivel crítico p= 0.00 muestra que se rechaza la hipótesis nula por lo que existen correlaciones significativas entre las nueve métricas Si Número de C. P. Dos componentes principales que explican el 88.4% de la varianza total Rotación de las C. P. Método Varimax de Kaiser

ANALISIS EN COMPONENTES PRINCIPALES Componentes sin rotar Componentes rotadas Medidas 1ª 2ª Sop 0.654 0.619 0.313 0.844 Conf 0.712 0.499 0.418 0.762 Int 0.835 -0.479 0.961 -6.07e-02 FC 0.897 -0.132 0.863 0.278 2 0.382 0.886 -4.9e-02 0.964 MI .938 0.196 0.755 0.590 S -5.8e-03 0.918 -0.411 0.820 PRP 0.889 -0.431 0.988 5.98e-03  0.892 -0.419 0.986 1.80e-02 Puntua en 1ª CPi = 0.654 ZSopi+0.712 ZConfi+ ...+ 0.889 ZPRPi+ 0.892 Zi Puntua en 2ª CPi= 0.619  ZSopi+ 0.449 ZConfi + .....- 0.431 ZPRPi- 0.419 Zi

Resultados del Análisis en CP La CP primera está formada por las medidas de Confianza, Interés, Factor de Certeza, Precisión Relativa Ponderada, Coeficiente de correlación lineal, así como Soporte y Medida de Interés y explica el 56.1% de la varianza total. La CP segunda esta asociada a las medidas Chi-cuadrado y Entropía y explica el 32.3% de la varianza total. Ambas son medidas de dependencia estadística que indican el mayor o menor grado de independencia de los atributos que forman la regla

Conclusión Las distribuciones de las medidas no son normales salvo para MI y que al aplicarles los contrastes de igualdad de medianas se observa que estas son diferentes entre si para = 0.05 Algunas medidas miden características similares de las reglas y por ello se pueden definir otras métricas como combinación lineal de varias de las iniciales (Componentes Principales)

BIBLIOGRAFÍA Joines, J. A., Kay M. G. Utilizing Hybrid Genetic Algorithms. Evolutionary Optimization. Kluwer Academic Publisher. 2002 Webb G. I. MultiBoosting: A Technique for Combining Boosting and Wagging. Machine Learning, 40, 159-196, 2000 Van Gestel, T., et al “Benchmarking least squares support vector machine classifiers”. Machine Learning, 54, 5-32, 2004 Hervás C., Romero C., Ventura S. “Comparación de medidas de evaluación de reglas de asociación”. Maeb´04 Córdoba, 126-133. 2004. Barr, R.S., Golden, B.L., Nelly, J. P., Resende, M.G.C. and Stewart Jr., W.R. “Designing and reporting on computacional experiments with heuristic methods”. Journal of Heuristics, 1 (1). 9-32. 1995 Hooker, J.N. Testing heuristics: “We have it all wrong”. Journal of Heuristics, 1 (1). 33-42 Tjen-Sien, L., Wei-Yin L., Yu-Shan S. A Comparison of Prediction Accuracy, Complexity, and Training Time of Thirty-Three Old and New Classification Algorithms, Machine Learning, 40, 203-228. 2000.

BIBLIOGRAFÍA Cuadras C., "Métodos de Análisis Multivariante", EUNIBAR, Barcelona 2ª edición (1991). Hair, Análisis Multivariante, Prentice-Hall, (1999). Ruiz-Maya L. Métodos Estadísticos de Investigación. INE, 1986 Fox J. An R and S-Plus companion to applied regression. SAGE Publications. 2002 Bishop, Y, Fienberg, S. and Holland, P. "Discrete Multivariate Analysis". MIT Press. Cambridge. (1991) Jobson, J. D. "Applied Multivariate Data Analysis. Volume II: Categorical and Multivariate Methods". Ed. Springer-Verlag. (1992) Montgomery D. C., Peck, E. A. and Vinng G.G.”Introduction to linear regression analysis” John Wiley 2001

TECNICAS DE EVALUACIÓN DE ALGORITMOS DE APRENDIZAJE UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA GRUPO DE INVESTIGACIÓN AYRNA TECNICAS DE EVALUACIÓN DE ALGORITMOS DE APRENDIZAJE RED DE MINERIA DE DATOS. Madrid Mayo 2004 César Hervás Martínez